Линейные диофантовы уравнения

Определим цели, стоящие перед данной работой. Для этого дадим два определения.
Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с неизвестными называется уравнение вида
,
где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно .
Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.
Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n-ка целых чисел , такая, что .
Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется.
Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.
2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
Работа состоит из двух глав, в первой приведены теоретические материалы, во второй решения некоторых задач.
В части 1.1 приведены выдержки из истории неопределенных уравнений. В части 1.2. в виде теоремы приводится необходимое и достаточное условие существования решения ЛДУ, также говорится о числе решений. Далее рассматриваются методы нахождения решений, в пункте 1.3 для некоторых частных случаев, в пункте 1.4 для любого ЛДУ, имеющего решение.