Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
a1 + a2 + ... + an
n
> n  a1 a2 ... an .
(1)
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:
(Sn ) n > a1 a2 ... an . (2)
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an. (3)
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
b 
b – a
b
< ∫ 
dt
t
= ln 
b
a
< 
b – a
a
,
a      
(4)
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
b – a
b
= ln 
b
a
= 
b – a
a
.