Один метод построения полигональных изображений

Построение изображений трехмерных объектов при помощи компьютера – тема, которая издавна привлекала особое внимание программистов и разработчиков аппаратных средств. С появлением эффективных графических библиотек (Direct3D, OpenGL и т.п.) и специализированных видеокарт интерес к математическим основам машинной графики снизился, поскольку у программистов исчезла необходимость самостоятельно создавать алгоритмы построения изображений. В этом одна из сторон печальной тенденции превращения программирования из искусства в ремесло.

Все же немало есть и тех, кто захочет не только получить результат, но и узнать, что лежит между интерфейсом графической библиотеки и готовой картинкой на экране. Для них и предназначена эта статья, в которой мы постараемся изложить суть одного метода построения трехмерных изображений, быть может, не самого эффективного.
Терминология

Прежде поясним некоторые математические понятия, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Мировая система координат – в нашем случае пространственная прямоугольная система координат (СК), две оси которой (X и Y) направлены по сторонам экрана монитора, а третья – от наблюдателя.

Экранная система координат – СК в плоскости экрана, ее оси совпадают с осями X и Y мировой СК.

Система координат модели – СК, относительно которой в файле заданы координаты всех вершин модели, изображение которой строится.

Вектор – направленный отрезок, его положение будем задавать либо координатами начала и конца, либо их разностями (собственно координатами вектора). Длина (модуль) вектора рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов его координат – это следствие теоремы Пифагора. Скалярное произведение векторов – число p, определяемое следующим образом: Один метод построения полигональных изображенийилиОдин метод построения полигональных изображений, где |A| и |B| - длины векторов A и B, x, y, z – их координаты, t – угол между ними. Коллинеарные векторы – два или более вектора, лежащие на одной прямой или параллельных прямых. Компланарные векторы – три или более вектора, которые при отложении из одной точки оказываются лежащими в одной плоскости. Если векторы A, B, C компланарны, то вектор C можно разложить по векторам A и B, то есть C=aA+bB, где a и b – некоторые коэффициенты. Нормаль к вектору – вектор единичной длины, перпендикулярный данному. На плоскости координаты нормали к вектору P(x; y) определяются по формулам:

Один метод построения полигональных изображений