Об “арифметических возможностях” компьютера и “компьютерных возможностях” арифметики

При изучении математики и информатики необходимо акцентировать внимание обучаемых на основные различия действий с числами в обычной, неограниченной (“человеческой”) и ограниченной (“машинной”) разрядной сетке, арифметике, которые часто остаются “за кадром”. Игнорирование этого может приводить к нежелательным последствиям – вплоть до абсолютизации возможностей компьютера и игнорированию адекватных описаний структур данных и операций с ними (например, проверки чётности числа x условием вида int(x/2)=x/2 и т.д.).

Множество чисел ограниченной разрядности является моделью расширенной числовой прямой, т.е. числовой прямой с тремя абстракциями (потенциальной осуществимости): нуль, положительная бесконечность, отрицательная бесконечность.

Целые числа (в математике) и их аналоги в n - разрядных арифметиках тождественны (по отражаемым им количествам) в рамках их представления в этой разрядности. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти n - разрядной арифметики (компьютера):

бесконечное и счётное (нумеруемое) множество целых чисел Z представляется отрезком [—N;+N], где N - максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие - общее число единиц равное n): N=(111 . . . 1)2;

бесконечное и несчётное множество действительных чисел (—¥ ;+¥ ), располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в n-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел);

нуль во множестве действительных чисел R в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно: в окрестности с радиусом равным наименьшему представимо в этой арифметике числу нет других чисел.

С точки зрения обычной арифметики, например, в интервале (—1;1) имеется бесконечное множество “плотно” расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой.