Математический анализ. 23-й билет. сибГУТИ

Если функция , стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е. , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае - линейным неоднородным.
Таким образом, - линейное однородное уравнение, а - линейное неоднородное уравнение.
Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.
I метод - метод Бернулли
Для решения уравнения применим подстановку y=UV, причем функцию U=U(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию мы выберем произвольно, подчинив некоторому условию. Так как при этом , то эта подстановка дает:
.
Используя произвольный выбор функции V, подчиним ее условию: .
Разделяя переменные и интегрируя в последнем равенстве, получаем:
.
Поэтому исходное уравнение после подстановки полученной функции V(x) имеет вид: .
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными.
Решая его, получаем:
, а после интегрирования .
Возвращаясь к переменной y=UV имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
.
II метод - метод вариации произвольной постоянной - метод Лагранжа
В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Y , легко находится:
.

хорошо