Обработка экспериментальных данных. Вариант №2

Лабораторная работа
Тема: Проверка статистических гипотез о виде распределения
Цель работы. Проверка гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия Пирсона.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
 Изучить теоретические положения, касающиеся критерия согласия Пирсона;
 Для эмпирических данных подобрать теоретический закон распределения.
1. Задания для выполнения лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы вариант задания выбирается в соответствии с таблицей 1.1

Таблица 1.1 - Таблица исходных данных
Последняя цифра шифра 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Задание для выполнения 3.1 3.2 3.3 3.1 3.2 3.3 3.1 3.2 3.3 3.1

В зависимости от варианта необходимо решить одну из ниже приведенных задач.
В п.3 данных методических указаний даны примеры решения всех задач. Выбрать нужный пример и решить ваш вариант задачи по соответствующему примеру.

 В результате эксперимента, состоящего из N=1000 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число xi появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество xi появлений события; во второй строке — частота
n_i, т. е. число испытаний, в которых наблюдалось xi появлений события):

xi 0 1 2 3 4 5
n_i 505 336 125 24 8 2

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что эмпирический ряд распределен по распределению Пуассона.

 В итоге испытаний 1000 элементов получено эмпирическое распределение:

x_i-x_(i+1) n_i x_i-x_(i+1) n_i
0-10 365 40-50 70
10-20 245 50-60 45
20-30 150 60-70 25
30-40 100  
Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что эмпирический ряд распределен по показательному закону.

 Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки:

xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
n_i 6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5





 Теоретические сведения

Аппроксимация закона распределения экспериментальных данных

При определении закона распределения рекомендуется аппроксимировать экспериментальные данные в указанной последовательности:
 Подготовка опытных данных.
 Определение закона распределения, наиболее подходящего для аппроксимации экспериментальных оценок (графически или аналитическим способом).
 Проверка допустимости предполагаемого закона распределения, используя определенные критерии согласия (Колмогорова, Пирсона и др.).

Вид закона распределения может определяться графическим или аналитическим способом.
Выбор вида закона распределения осуществляется посредством анализа гистограммы распределения, оценок коэффициентов асимметрии и эксцесса. По степени "похожести" гистограммы и графиков плотностей распределения типовых законов или по "близости" значений оценок коэффициентов и диапазонов их теоретических значений выбираются распределения – "кандидаты" для последующей оценки параметров.


Рисунок 1.1 - Логнормальное распределение

Рисунок 1.2 - Экспоненциальное распределение


Преимущество применения типовых законов распределения состоит в их хорошей изученности и возможности получения состоятельных, несмещенных и относительно наиболее эффективных оценок параметров. Однако типовые законы распределения не обладают необходимым разнообразием форм, поэтому их применение не дает необходимой общности представления случайных величин, которые встречаются при исследовании систем. В таблице 1.1 приведен пример функции плотности и теоретические параметры распределений.

Таблица 1.1 - Функции плотности и теоретические параметры распределений.
Тип и функция плотности распределения Математическое ожидание, дисперсия Оценка параметров распределения по выборочным данным
  Группированный ряд Несгруппированный ряд
Нормальное
Р=1/(σ√2π) exp(-(x-μ_1 )^2/(2σ^2))

-∞<x<∞ x ̅=μ_1
σ^2=μ_2
A_s=0
E_s=0
 μ_1=1/N ∑_(i=1)^k▒x_i *n_i
σ^2=1/N ∑_(i=1)^k▒〖(x_i-μ_1 )^2*n_i 〗 μ_1=1/N ∑_(i=1)^N▒x_i
σ^2=1/N ∑_(i=1)^N▒(x_i-μ_1 )^2
Экспоненциальное
Р=λ exp(-λx),x≥0
0, x<0 x ̅=1/λ
σ^2=1/λ^2 λ=1/(1/N ∑_(i=1)^k▒〖x_i*n_i 〗) λ=1/(1/N ∑_(i=1)^n▒x_i )
Пуассоновское
Р=λ^i/i! exp(-λ)
i=0,1,... x ̅=λ
σ^2=λ λ=(∑_(i=1)^k▒〖x_i*n_i 〗)/N λ=(∑_(i=1)^n▒x_i )/N

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения определяется соответственно равенствами:
A_s=μ_3/σ^3 ;
E_s=μ_4/σ^4 -3
μ_3 и μ_4 – центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:
Центральный эмпирический момент Оценка параметров распределения по выборочным данным
 Группированный ряд Несгруппированный ряд
третьего порядка μ_3=1/N ∑_(i=1)^к▒〖(x_i-μ_1 )^3*n_i 〗
 μ_3=1/N ∑_(i=1)^n▒(x_i-μ_1 )^3

четвертого порядка μ_4=1/N ∑_(i=1)^к▒〖(x_i-μ_1 )^4*n_i 〗
 μ_4=1/N ∑_(i=1)^n▒(x_i-μ_1 )^4


Асимметрия и эксцесс оценивают степень близости данного распределения к нормальному, а также характеризуют форму закона распределения вероятностей изучаемой случайной величины.
Замечание 1.
Если асимметрия более 0,5, то независимо от знака она считается значительной.
Если асимметрия меньше 0,25, то она считается незначительной.

Замечание 2.
Положительный эксцесс свидетельствует о том, что в совокупности есть слабо варьирующее по данному признаку «ядро», а в плосковершинных распределениях такого «ядра» нет, и единицы рассеяны по всем значениям признака более равномерно.
Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Еs = -2, величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.
Если отношение |Е_s |/σ_(E_s ) имеет значение больше 3, то это свидетельствует о существенном характере эксцесса

σ_(E_s )=√((24N(N-2)*(N-3))/(〖(N-1)〗^2*(N+3)*(N+5)))
N - число единиц в совокупности

Критерий согласия Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о предполагаемом законе эмпирических данных.
В учебных задачах обычно используется следующий алгоритм:
 Выбор теоретического закона распределения (обычно задан заранее, если не задан - анализируем выборку, например, с помощью гистограммы относительных частот, которая имитирует плотность распределения).
 Оценка параметров распределения по выборке (для этого вычисляется математическое ожидание, дисперсия, асимметрия и эксцесс).
 Вычисление теоретические значения частот (через теоретические вероятности попадания в интервал) и сравниваются с исходными (выборочными).
 Анализ значений статистики χ2 и делается вывод о соответствии (или нет) теоретическому закону распределения.

 Пример выполнения лабораторной работы
Задание 1 (Экспоненциальное распределение)

Необходимо проанализировать выборочную совокупность реального информационного потока (таблица 2.1) для определения характера закона распределения промежутков между поступлениями заявок.
Длительности интервалов располагаем в порядке возрастания и группируем в соответствии с интервалом разбиения

Таблица 2.1 - Выборочная совокупность информационного потока
Нижняя граница, с Верхняя граница, с Эмпирические частоты(n_i)
0 5 301
5 10 77
10 15 16
15 20 4
20 25 1
25 30 1

Для доказательства предположения о соответствии распределения выборочной совокупности теоретическому распределению воспользуемся критерием согласия 2 Пирсона.
Статистический анализ выборочных данных начинают обычно с вычисления выборочных моментов.
При расчете выборочной средней для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Таблица 2.2 – Вспомогательная таблица
Нижняя граница,с Верхняя граница,с Эмпирические частоты(n_i) Среднее значение интервала Произведение середины интервала на эмпирические частоты
0 5 301 2,5 752,5
5 10 77 7,5 577,5
10 15 16 12,5 200
15 20 4 17,5 70
20 25 1 22,5 22,5
25 30 1 27,5 27,5
Итого 400  1650
Тогда выборочная средняя:
̄x=(∑▒〖x_i*n_i 〗)/(∑▒n_i )=1650/400=4.13,c
В качестве оценки параметра λ показательного распределения принимаем величину, обратную выборочной средней:
λ=1/ ̄x=1/4.13=0.24 заявок/с
Найдем вероятность попадания случайной величины P_i в интервалы:
P_i=e^(-λx_i )-e^(-λx_(i+1) ),
P_1=e^(-0.24*0)-e^(-0.24*5)=0.70
Следующим шагом найдем теоретические частоты n_i^':
n_i^'=P_i*∑▒〖n_i=0.70*400=281〗,       
Остальные расчеты приведены в таблице 2.3.
Для того, чтобы сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона необходимо:
- составить расчетную таблицу (таблица 2.3), по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона
χ_набл^2=∑▒〖(n_i-n_i^')〗^2/(n_i^' )
- по таблице критических точек распределения χ_кр^2, по заданному уровню значимости, и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области χ_кр^2. Если χ_набл^2<χ_кр^2 — нет оснований отвергнуть гипотезу о законе распределении генеральной совокупности. Если χ_набл^2>χ_кр^2— гипотезу отвергают.

Таблица 2.3 –Расчетная таблица
Нижняя граница Верхняя граница Эмпирические частоты(n_i) P_i  Теоретические частоты (n_i^') 〖(n_i-n_i^')〗^2/(n_i^' )
0 5 301 0,70  281 1,43
5 10 77 0,21  84 0,52
10 15 16 0,06  25 3,17
15 20 4 0,02  7 1,56
20 25 1 0,01  2 0,66
25 30 1 0,00  1 0,18
Итого 7,52

 При использовании критерия Пирсона число степеней свободы s = k—1—r, где r — число параметров, оцениваемых по выборке. Экспоненциальное распределение определяется одним параметром λ. Так как этот параметр оценивается по выборке, то r =1 и, следовательно, число степеней свободы s = k—1—1=s—2 .
Из таблицы 2.3 видно: χ_кр^2=7,52.
 По таблице критических точек распределения χ_кр^2 (рисунок 2.1), на уровне значимости α = 0,05 и числу степеней свободы s=6-2=4 находим критическую точку правосторонней критической области χ_теор^2=9.5
Так как χ_набл^2<χ_кр^2 —нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении по экспоненциальному закону

Рисунок 2.1 - Таблица критических точек
Задание 2 (Нормальное распределение)

Необходимо проанализировать выборочную совокупность реального информационного потока (таблица 2.4) для определения закона распределения длительности обслуживания заявок.

Таблица 2.4 - Выборочная совокупность реального информационного потока
Длительность обслуживания (x_i), с Эмпирические частоты(n_i)
5 15
7 26
9 25
11 30
13 26
15 21
17 24
19 20
21 13
итого 200

Для доказательства предположения о соответствии распределения выборочной совокупности теоретическому распределению воспользуемся критерием согласия 2 Пирсона.
Статистический анализ выборочных данных начинают обычно с вычисления выборочных моментов.

Тогда выборочная средняя:
̄x=(∑▒〖x_i*n_i 〗)/(∑▒n_i )=(5*15+7*26+⋯+21*13)/200=12,63 c

Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σ=√(1/N ∑_(i=1)^k▒〖(x_i-μ_1 )^2*n_i 〗=) √((〖(5-12,63)〗^2*15+(7-12,63)^2*26+⋯)/200)=4,695 с

Выборочная асимметрия:

A_s=μ_3/σ^3 =(1/N ∑_(i=1)^к▒〖(x_i-μ_1 )^3*n_i 〗)/σ^3 =0,12>0
то есть, распределение обладает правосторонней асимметрией


Выборочный эксцесс:
Е_s=μ_4/σ^4 -3=(1/N ∑_(i=1)^к▒〖(x_i-μ_1 )^4*n_i 〗)/σ^4 -3=-1,07
распределение ниже, чем нормальное распределение.

Вычислим теоретические частоты:
n_i^'=(N*h)/σ*φ(u_i )
h – шаг (разность между соседними вариантами)

u_i=(x_i- ̄x)/σ
φ(u_i )=e^(-u_i^2/2)/√2π


Для того, чтобы сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона необходимо:
- составить вспомогательную таблицу (таблица 2.5), по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона
χ_набл^2=∑▒〖(n_i-n_i^')〗^2/(n_i^' )
- по таблице критических точек распределения χ_кр^2, по заданному уровню значимости, и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области χ_кр^2. Если χ_набл^2<χ_кр^2 — нет оснований отвергнуть гипотезу о законе распределении генеральной совокупности. Если χ_набл^2>χ_кр^2— гипотезу отвергают.

Таблица 2.5 – Вспомогательная таблица
i n_i x_i u_i φ(u_i ) n_i^' n_i-n_i^' (n_i-n_i^' )^2/(n_i^' )
1 15 5 -1,62 0,1074 9,1 5,9 3,8
2 26 7 -1,20 0,1942 16,5 9,9 5,5
3 25 9 -0,77 0,2966 25,3 -0,3 0,0
4 30 11 -0,35 0,3752 32,0 -2,0 0,1
5 26 13 0,08 0,3977 33,9 -7,9 1,8
6 21 15 0,51 0,3503 29,8 -8,8 2,6
7 24 17 0,93 0,2589 22,0 2,0 0,2
8 20 19 1,36 0,1582 13,5 6,5 3,1
9 13 21 1,78 0,0818 7,0 6,0 5,1
Сумма 200 190     22,2

При использовании критерия Пирсона число степеней свободы s = k—r—1, где г — число параметров, оцениваемых по выборке. Нормальное распределение определяется двумя параметрами. Так как этот параметр оценивается по выборке, то r =2 и, следовательно, число степеней свободы s= k—2—1=k—3 .
Из таблицы 2.5 видно: χ_кр^2=22,2.
 По таблице критических точек распределения χ_кр^2 (рисунок 1,1), на уровне значимости α = 0,05 и числу степеней свободы s=9-3=6 находим критическую точку правосторонней критической области χ_теор^2=12,6
Так как χ_набл^2>χ_кр^2 —гипотезу о распределении по нормальному закону отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Задание 3 (распределение Пуассона)

Необходимо проанализировать выборочную совокупность реального информационного потока (таблица 2.6) для определения закона распределения поступления заявок на обслуживающее устройство.

Таблица 2.6 - Выборочная совокупность реального информационного потока
x_i n_i x_i n_i
0 403 4 12
1 370 5 2
2 167 Итого 1000
3 46

Для доказательства предположения соответствия распределения выборочной совокупности теоретическому распределению воспользуемся критерием согласия 2 Пирсона.
Статистический анализ выборочных данных начинают обычно с вычисления выборочных моментов.

Тогда выборочная средняя:
̄x=(∑▒〖x_i*n_i 〗)/(∑▒n_i )=0,9
В качестве оценки параметра λ, распределения Пуассона принимаем выборочную среднюю
x ̅=λ=0,9
Предполагаемый закон Пуассона:
P_i=λ^i/i! exp(-λ)=〖0,9〗^i/i! exp(-0,9), i=0,1...5
Найдем теоретические частоты:
n_i^'=N*P_i=1000*P_i
Для того, чтобы сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона необходимо:
- составить расчетную таблицу (таблица 2.7), по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона
χ_набл^2=∑▒〖(n_i-n_i^')〗^2/(n_i^' )
- по таблице критических точек распределения χ_кр^2, по заданному уровню значимости, и числу степеней свободы находят критическую точку правосторонней критической области χ_кр^2. Если χ_набл^2<χ_кр^2 — нет оснований отвергнуть гипотезу о законе распределении генеральной совокупности. Если χ_набл^2>χ_кр^2— гипотезу отвергают.


Таблица 2.7 – Расчетная таблица
i n_i P_i n_i^'  (n_i-n_i^' )^2 〖(n_i-n_i^')〗^2/(n_i^' )
0 403 0,401 406,57  12,74 0,031
1 370 0,366 365,91  16,73 0,046
2 167 0,165 164,66  5,48 0,033
3 56 0,049 49,40  43,56 0,881
4 12 0,011 11,11  0,79 0,071
5 2 0,002 2,0  0,0 0,0
Итого 1,06
 
При использовании критерия Пирсона число степеней свободы s = k—r—1, где г — число параметров, оцениваемых по выборке. Распределение Пуассона определяется одним параметром λ. Так как этот параметр оценивается по выборке, то r =1 и, следовательно, число степеней свободы s = k—1—1=k—2 .
Из таблицы 2.3 видно: χ_кр^2=1,06.
 По таблице критических точек распределения χ_кр^2 (рисунок 2.1), на уровне значимости α = 0,05 и числу степеней свободы s=6-2=4 находим критическую точку правосторонней критической области χ_теор^2=9.5
Так как χ_набл^2<χ_кр^2 —нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении Пуассона.

Оценка: Зачет
Дата оценки: 16.11.2021

Помогу с вашим вариантом, другой работой, дисциплиной или онлайн-тестом.
E-mail: sneroy20@gmail.com
E-mail: ego178@mail.ru