Абстрактная теория групп

Абстрактная теория групп I.Понятие абстрактной группы. 1.Понятие алгебраической операции. Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция , если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением. Примеры. 1. Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией.

2. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n. 3. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция.

4. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве . 5. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве . 6. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка. 2.Свойства алгебраических операций. 1. Операция называется ассоциативной, если . Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания и деления