Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам

В этой статье мы предлагаем читателям несколько задач, в решении которых центральную роль играет теорема Эйлера. Уделяя основное внимание задачам, мы не доказываем здесь эту теорему, а приводим лишь её формулировку. Доказательство теоремы Эйлера, как и более общие формулировки этой теоремы, можно найти в книгах «Что такое математика?» Куранта и Роббинса и «Наглядная геометрия» Гильберта и Кон-Фоссена.
Прежде чем формулировать теорему Эйлера, договоримся, что линию с концами в двух данных точках мы будем называть дугой, соединяющей эти точки, в том случае, если эту линию можно пройти, не побывав ни в одной из её точек дважды.
Теорема Эйлера. Пусть на плоскости задано m точек и n попарно непересекающихся дуг, каждая из которых соединяет какие-либо две данные точки и не проходит через остальные m–2 точки, и пусть эти дуги делят плоскость на l областей. Если из каждой данной точки в любую из остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то
m – n + l = 2.
В случае, изображенном на рисунке1, все условия теоремы Эйлера выполнены, m=12, n=18, l=8 и m–n+l=2. На рисунках2 и 3 изображены случаи, когда условия этой теоремы не выполняются. Так, на рисунке2 из точки A1 нельзя попасть в точку A5 и m–n+l=3≠2, а на рисунке3 линия, соединяющая точки A1 и A2, является самопересекающейся и опять m–n+l=3≠2.