Элементарное доказательство великой теоремы Ферма

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

(Приведенный ниже вариант доказательства Великой теоремы Ферма получен в октябре 2010 года)

С.А. ЛАБУТИН (д.т.н.)

1. Введение [1]. Великая (большая или последняя) теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x, y, z, для которых имеет место равенство

xn + yn = zn, (1)

где n > 2. Общеизвестно, что при n = 2 такие числа существуют (например, 3, 4 и 5).

В бумагах Ферма (который жил в 1601-1665 гг.) было найдено доказательство этой теоремы при n = 4 (это единственное полное доказательство теоретико-числового результата, сохранившееся от Ферма). Относительно же общего случая любого n > 2 Ферма лишь написал (на полях "Арифметики" Диофанта), что он нашел "поистине замечательное доказательство" этого факта, но "поля слишком малы, чтобы его уместить".

Несмотря на усилия многих математиков (в "Истории теории чисел" Диксона прореферировано более трехсот (!) работ на эту тему), это доказательство найдено не было, что даже вызвало сомнение в том, что в доказательстве Ферма не содержалось какой-либо ошибки. Тем более, что кроме показателя n = 4, нет ни одного показателя, для которого теорему Ферма удалось бы доказать элементарными средствами.

Известно [1], что для доказательства теоремы Ферма достаточно рассмотреть только случаи показателей n = 4 (для этого случая доказательство теоремы получено Пьером Ферма) и n = q ≥ 3, где q - простое число, делящееся без остатка только на единицу и на само себя, и примитивных решений x, y, z. Решение называется примитивным, если состоит из попарно взаимно простых чисел, т.е. каждая из пар чисел (x, y), (y, z) и (x, z) не имеет общих множителей кроме единицы.

Только создание в середине 19 века нового достаточно сложного раздела математики "теории алгебраических чисел" (первооткрывателем этого направления математики является немецкий математик Куммер) позволило доказать теорему Ферма для простых показателей q < 253747889 [1] в случае, когда ни одно из взаимно попарно простых чисел x, y, z не делится на q (опираясь на результаты, полученные рядом ученых к 1941 г., и на возможности ЭВМ для проверки сформулированных ими условий), и для q < 100000 для произвольных взаимно попарно простых решений x, y, z (опираясь на результаты Вандивера, полученные в 1929 г., и на возможности ЭВМ, для проверки сформулированных им условий). Но теория алгебраических чисел так и не позволила доказать теорему Ферма для всех простых чисел q > 2.