Динамическое программирование и вариационное исчисление

1. Динамические задачи оптимизации управления



1.1. Постановка задачи динамического программирования



Среди разнообразных задач кибернетики значительное место занимают задачи, в которых объект управления находится в состоянии непрерывного движения и изменения под воздействием различных внешних и внутренних факторов. Задачи управления такими объектами относятся к классу динамических задач управления.

Объект называется управляемым, если среди действующих на него разнообразных факторов имеются такие, распоряжаясь которыми, можно изменять характер его движения. Такие целенаправленные воздействия называются управлениями и обозначаются u(t).

Характер движения объекта управления определяется системой дифференциальных уравнений, которую удобно сокращенно записывать в векторной форме в виде одного дифференциального уравнения:

x(t)=g(x,u), x(0)=c.

Управление u(t) входит в уравнение, так что это уравнение определяет не просто конкретное движение объекта, а лишь его технические возможности, которые могут быть реализованы путем использования того или иного управления из пространства допустимых управлений U.

Оценить, насколько при том или ином способе управления достигаются поставленные цели, можно, как и раньше, путем введения целевой функции, которую в данном случае удобно записать в виде

J=J[x(t),x(t),u(t),t].

Так, если u(t) - мгновенный расход топлива, а x(t) - мгновенная скорость самолета, то с точки зрения расхода топлива качество управления в любой момент времени может быть охарактеризовано величиной J(t)=u(t)/x(t) (мгновенный расход топлива на едини­цу пути), которая, естественно, будет зависеть от состояния природы, т.е. от совокупности внешних факторов, определяющих условия полета.

Целевая функция в виде, записанном выше, используется редко, так как она дает оценку лишь мгновенных значений управляемого процесса, тогда как в большинстве задач бывает необходимо оценить процессы в объекте управления на протяжении всего времени управления от 0 до Т.