Лабораторная работа № 1 по дисциплине: Основы обработки данных Вариант № 03

Определение параметров характеристики диода методом наименьших квадратов на основе экспериментальных данных

Цель работы
Обработка экспериментальных данных при измерении вольт-амперной характеристики полупроводникового диода для нахождения теоретической кривой, наилучшим образом приближенной к экспериментальной.

Расчетные формулы
Обработка экспериментальных данных при измерении вольт-амперной характеристики полупроводниковых диодов обычно сводится к нахождению теоретической кривой, которая должна наилучшим образом приближаться к экспериментальной. Наиболее распространенным методом для решения этой задачи является метод наименьших квадратов. В данном случае суть метода наименьших квадратов заключается в подборе таких коэффициентов линейной функции F(a,b), при которых она принимает минимальное значение.
F(a,b)=∑▒(y_i-(ax_i+b))^2      (1)
То есть нужно найти такие a и b, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических была минимально. Для отыскания минимумов этой функции следует приравнять ее частные производные по параметрам a и b к нулю.
∂F(a,b)/∂a=0   -2∑▒〖(y_i-(ax_i+b)) x_i 〗=0    (2)
∂F(a,b)/∂b=0   -2 ∑▒(y_i-(ax_i+b)) =0     (3)
Получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которая может быть решена любым методом, например, с помощью метода Крамера
a=(∑▒〖(x∙y)-(∑▒x∙∑▒y)/n〗)/(∑▒x^2 -(∑▒x)^2/n)      (4)
b=(∑▒y)/n-a(∑▒x)/n       (5)
Известно, что теоретическим уравнением, хорошо описывающим полупроводниковый диод является уравнение Шокли:
I=I_0∙e^((U/(m∙φ_t )) )      (6)
Где I- значение прямого тока диода;
U – напряжение на диоде;
φ_t= температурный потенциал;
m – коэффициент неидеальности;
I0 – ток насыщения.
Обозначим отношение φ_t/m:
a=φ_t/m
Тогда уравнение (6) можно записать как
I=I_0∙e^((a∙U) )      (7)
Прологарифмируем правую и левую части уравнения Шокли:
lnI=a∙U+ln〖I_0 〗
Получим линейное уравнение с двумя неизвестными, аналогичное (1)
y=ax+b,
где y=lnI;
x=U;
b=ln〖I_0 〗;
I и U – значения тока и напряжения, полученные экспериментально.
В результате уравнение (6) можно записать как
I=e^b∙e^((a∙U) )      (8)
Расчет среднеквадратической погрешности между теоретической кривой ВАХ и экспериментальными значениями проводится по следующей формуле:
σ=√((∑_(i=1)^n▒ρ_i )/n),     (9)
где i– расхождения между теоретическим и измеренном значением токов при заданном напряжении.