Методичка по дифференциальным уравнениям и рядам

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4
1.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 4
1.1.1. Задача о свободном падении тела 4
1.1.2. Задача о переходном процессе в электрической цепи 5
1.1.3. Задача о радиоактивном распаде 6
1.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ 6
1.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ 9
1.4. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 10
1.4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 10
1.4.2. Однородные дифференциальные уравнения 11
1.4.3. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли 12
1.4.4. Уравнение в полных дифференциалах 14
1.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 17
1.5.1. Уравнения, допускающие понижение порядка 17
1.5.2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 21
1.5.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 24
1.5.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка 28
1.6. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 33
1.6.1. Метод исключения неизвестных 34
1.6.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 36
2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 39
2.1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА 39
2.2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 42
2.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ 48
3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 52
3.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА 52
3.2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 54
3.3. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 58
3.4. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА 59
3.5. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 64
3.6. РЯДЫ ФУРЬЕ 67
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 74
4.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 74
4.2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 74
4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 75
4.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 77
4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 78
4.6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 78
4.7. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 78
4.8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА 78
4.9. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА 78
4.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 78
4.11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЯДОВ 78
4.12. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 78
4.13. РЯДЫ ФУРЬЕ 78
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 91
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 91
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 92
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ 96
ЛИТЕРАТУРА 97