Моделирование в Excel -Тело брошенное под углом к горизонту

Моделирование в Excel
Тело брошенное под углом к горизонту
Введение
Построим сначала более простую модель - тело бросаем вертикально вверх. Примем за положительное направление - направление вверх. Тогда для ускорения свободного падения придётся поставить знак "минус", так как оно направлено вниз. Договоримся входные параметры помещать в одних и тех же клетках - это поможет при совместном обсуждении задачи. Вычислять значения параметров будем с шагом dt = 0,05 с. На первых этапах мы не учитываем силу сопротивления воздуха.

Рисунок 1. Расположение входных параметров


Этап 1. Аналитическая модель
Формула равноускоренного движения: s = s0+v0·t+a·t2/2
В данном конкретном случае, когда речь идет о движении вертикально в вверх, ускорение будет ускорением свободного падения g, координату будем обозначать y, начальное значение y0 положим равным 0, и формула будет иметь вид:

y = v0·t+g·t2/2
Начальные значения t=0 и y=0.

Постройте два столбца данных по формулам:

ti = ti-1 + dt
yi = v0·ti + g·t 2/2
Важным моментом при написании формулы является определение, какие ячейки при копировании будут динамически изменяться, а какие остаются неподвижными. Знак $ используется для указания того, что следующая за ним координата - номер столбца или строки, при копировании не будут изменяться.

Заполните два столбца данными в количестве примерно 50 строк.

Рисунок 2. Этап 1. Аналитическая модель



Задание. Постройте теперь диаграмму по двум столбцам t и y. Типичная ошибка при этом - выбирать тип "График". Правильным является выбор типа "Точечная" с гладкими кривыми и маркерами или с прямыми отрезками и маркерами.

Рисунок 3. Этап 1. Аналитическая модель. График

Для улучшения внешнего вида полезно у вертикальной оси начальное значение поставить фиксированное – 0. Для этого следует выполнить щелчок правой кнопкой мыши по вертикальной оси и выбрать команду Формат оси и затем установить минимальное фиксированное значение.

Этап 2. Дифференциальная модель
В дифференциальной модели время делится на малые промежутки размером dt. На каждом промежутке скорость считается постоянной, в конце промежутка скорость резко "прыгает" на
a·dt. В нашем случае в качестве a будет "работать" g.
ti = ti-1 + dt vi=vi-1+g·dt
yi = yi-1 +vi-1·dti
Столбец t будем использовать тот же.
Задание. Построить два столбца Vi и Yi. Добавить в предыдущий график ещё один ряд данных, в котором та же самая горизонтальная ось из t, а вертикальная ось – новый ряд Yi.
Рисунок 4. Этап 2. Аналитическая и дифференциальная модель


Этап 3. Тело, брошенное под углом к горизонту
Расмотрим теперь случай тела, брошенного под углом α к горизонту. Добавим это параметр к исходным.

Рисунок 5. Этап 3. добавление параметра в исходные данные


Тогда начальная скорость раскладывается по двум направлениям VX0=V0*cos(α) и VY0=V0*sin(α). Следует учесть, что мы взяли угол в привычных градусах, а в таблицах Excel функции SIN( ) и COS( ) требуют аргументы в радианах. Нужно градусы умножить на ПИ() - так в Excel обозначается константа и разделить на 180. Так как на тело действует только вертикальная сила тяжести, горизонтальная скорость будет неизменной. Поэтому расчётные формулы будут выглядеть так:

ti = ti –1 + dt
Vxi = Vxi –1 {то есть горизонтальная скорость не изменяется} xi = xi –1+Vxi –1·dt
Vyi = Vyi –1 + g·dt yi = yi –1+Vyi –1·dt
Задание. Построить ещё столбцы VXi, VYi, Xi и Yi. Добавить в предыдущий график ещё один ряд данных, в котором та же самая горизонтальная ось из t, а вертикальная ось - новый ряд Yi. Кроме того, построить ещё диаграмму зависимости Yi от Xi.

Рисунок 6. Этап 3. Расчёты и диаграммы