Многообразия алгебраических систем

Алгебраической системой называется множество, на котором задан некоторый набор алгебраических операций; операций в этом наборе может быть как конечное число (в частности, одна), так и бесконечно много. Понимание высказанного определения предполагает знание математических понятий множества и алгебраической операции. Имея в виду преимущественно читателя-нематематика, я не буду здесь углубляться и приводить соответствующие разъяснения, а проиллюстрирую определение на нескольких, надеюсь, вполне понятных примерах. Множество N всех натуральных чисел можно рассматривать как алгебраическую систему с одной операцией сложения; или с одной операцией умножения; или с набором из двух указанных операций; или, например, с набором, который состоит из двух указанных операций и бесконечного множества операций возведения произвольного числа во всевозможные степени с натуральным показателем. Таким образом, одно и то же множество (в данном примере - N) может быть превращено в разные алгебраические системы. На множестве всех целых чисел или множестве всех действительных чисел можно кроме перечисленных операций рассматривать, например, операцию вычитания. Различные алгебраические операции естественно рассматривать не только на числовых множествах, но и, например, на множествах векторов, функций, матриц, цепочек сигналов и многих других множествах, служащих предметом внимания и изучения в разных разделах математики и ее приложений. Тем самым ясно, что разного рода алгебраические системы очень распространены в "математическом мире".
Алгебра, являющаяся одной из важнейших областей математики, в двадцатом веке сформировалась именно как наука об алгебраических системах. При этом в ней изучаются и свойства конкретных алгебраических систем, и разнообразные общие свойства алгебраических систем, выражаемые в терминах заданных на них операций. Одним из важнейших языков для выражения свойств алгебраических систем является язык тождеств. Тождеством называют равенство буквенных выражений, справедливое при всех значениях входящих в него букв. Понятие тождества можно считать уникальным по "дистанции", охватываемой им в математике, - от самых начальных фактов, с которыми знакомятся младшеклассники, до крупных научных достижений последнего времени и открытых проблем.