Алгоритмы на графах. Кратчайшие расстояния на графах

Содержание

Введение

1 Поиск в глубину

2 Задача "Дороги"

3 Задача "Перекрестки"

4 Задача "Скрудж Мак-Дак"

Заключение

Литература

Введение

Прежде всего, несколько слов о том, как возникает понятие графа из естественных условий задач. Приведем несколько примеров.

Пусть мы имеем карту дорог, в которой для каждого города указано расстояние до всех соседних с ним. Здесь два города называются соседними, если существует дорога, соединяющая непосредственно эти два города.

Аналогично, можно рассмотреть улицы и перекрестки внутри одного города. Заметим, что могут быть улицы с односторонним движением.

Сеть компьютеров, соединенных проводными линиями связи.

Набор слов, каждое из которых начинается на определенную букву и заканчивается на эту же или другую букву.

Множество костей домино. Каждая кость имеет 2 числа: левую и правую половину кости.

Устройство, состоящее из микросхем, соединенных друг с другом наборами проводников.

Генеалогические деревья, указывающие родственные отношения между людьми.

И, наконец, собственно графы, указывающие отношения между какими либо абстрактными понятиями, например, числами.

Итак, неформально, граф можно определить как набор вершин (города, перекрестки, компьютеры, буквы, цифры кости домино, микросхемы, люди) и связей между ними: дороги между городами; улицы между перекрестками; проводные линии связи между компьютерами; слова, начинающиеся на одну букву и закачивающиеся на другую или эту же букву; проводники, соединяющие микросхемы; родственные отношения, например, Алексей - сын Петра. Двунаправленные связи, например, дороги с двусторонним движением, принято называть ребрами графа; а однонаправленные связи, например, дороги с односторонним движением, принято называть дугами графа. Граф, в котором вершины соединяются ребрами, принято называть неориентированным графом, а граф, в котором хотя бы некоторые вершины соединяются дугами, принято называть ориентированным графом.