Сравнительный анализ численных методов

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения

2.2 Метод касательных (метод Ньютона)

2.2.1 Общие сведения

2.2.2 Решение нелинейного уравнения методом касательных

2.3 Метод хорд

2.3.1 Общие сведения

2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд

2.4 Вывод

2.5 Метод простых итераций

2.5.1 Общие сведения

2.5.2 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

2.6 Программа для решения нелинейных уравнений

3. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования

3.1 Интерполяция

3.2 Многочлен Лагранжа

3.3 Интерполяция сплайнами

3.4 Использование интерполяции на практике

3.4.1 Интерполяция с помощью многочлена Лагранжа

3.4.2 Обратная интерполяция

3.4.3 Интерполяция сплайнами

3.5 Программа для использования интерполяции

4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4.1 Общие сведения

4.2 Метод простой итерации

4.2.1 Описание метода

4.2.2 Решение СЛАУ методом простых итераций

4.2.3 Программа для решения СЛАУ методом простых итераций

4.3 Метод Зейделя

4.3.1 Описание метода

4.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя

4.3.3 Программа дл решения СЛАУ методом Зейделя

4.4 Сравнительный анализ

5. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

5.1 Методы численного дифференцирования

5.1.1 Описание метода

5.1.2 Нахождение производной

5.2 Методы численного интегрирования

5.2.1 Общие сведения

5.2.2 Нахождение определенного интеграла

5.3 Решение ОДУ

5.3.1 Решение ОДУ методом Эйлера

5.3.2 Решение ОДУ методом Рунге-Кутты

6.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1 Общие сведения

6.2 Метод Эйлера

Заключение

Список использованной литературы

Введение

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Конечно, использование таких программных продуктов значительно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Однако, использование этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать, что задача решена правильно. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретически изучить методы их решения и на практике их проработать.