Застосування неперервних випадкових величин в економіці

Поняття випадкової величини є одним з основних понять теорії ймовірностей.

Розподіл ймовірностей можна задати різними способами. Але істотним при цьому є лише те, що потрібно виконувати три вимоги — аксіоми Колмогорова:

1) кожній елементарній події (кожній точці фазового простору) ставиться у відповідність невід'ємне число;

2) сума чисел, поставлених у відповідність усім елементарним подіям (усім точкам фазового простору), дорівнює одиниці;

3) кожній складній події (кожній частині фазового простору) ставиться у відповідність сума чисел, поставлених у відповідність усім сприятливим даній складній події елементарним подіям (усім точкам цієї частини фазового простору).

Кожна функція, що володіє першою властивістю, називається мірою; та, що володіє другою властивістю — нормованою функцією; третьою — адитивною функцією. Функція, що задана на множині елементарних подій і володіє усіма трьома властивостями, називається розподілом ймовірностей.

Означення 1. Випадковою величиною називається сукупність випадкових подій із заданим розподілом їх ймовірностей.

Якщо подіями є певні числа, то йде мова про випадкову змінну. Отже, випадкова змінна приймає значення з області її значень із певними фіксованими ймовірностями, які в сукупності утворюють розподіл ймовірностей. У цьому випадку окремі події із повної сукупності подій, породжених реалізацією певної сукупності умов, позначаємо числами.

Наприклад, число викликів, що надходять на телефонну станцію протягом певного проміжку часу, приймає ті чи інші цілі невід'ємні значення, залежно від випадкових обставин, і тому є випадковою змінною. Випадковою змінною є і швидкість руху якоїсь конкретної молекули газу, тому що вона залежить від зіткнень з іншими молекулами, і які, практично, неможливо передбачити через їх велику кількість. Такими ж змінними є: зріст, об'єм грудної клітки, розмір ступні, вага людини тощо, як біологічного виду; кількість бактерій конкретної популяції в одиниці об'єму в певному місці; сила струму, напруга в електромережі, рівень радіації, температура, тиск повітря, хмарність тощо.

Випадкові величини надалі будемо позначати прописними грецькими літерами або великими латинськими літерами з індексами, або без них; конкретні значення — відповідними малими латинськими літерами і, як правило, з індексами.

Сукупність усіх значень (область значень) випадкової змінної, упорядкованих за зростанням їх величини, називають спектром цієї змінної. Якщо спектр випадкової змінної складається лише з ізольованих точок, то його називають дискретним; якщо ж він є множиною потужності континуум і не містить ізольованих точок, то такий спектр називають неперервним.