Основы математического моделирования

Задание 1

Рассмотрим три отрасли промышленности I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс производства рассматривается за определенный период времени (например, за год). Взаимодействие отраслей определяется матрицей прямых затрат. Число , стоящее на пересечении -й строки и -ого столбца, равно , где - поток средств производства из -й отрасли в -ю, а - валовой объем продукции -ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости). Задан вектор объемов продуктов конечного потребления.
, .
1. Определить, является ли матрица продуктивной.
2. Составить уравнение межотраслевого баланса.
3. Найти объем валовой продукции каждой отрасли .
4. Составить матрицу потоков средств производства .
5. Найти объемы валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличится на 60, 70, 30 соответственно.
Расчеты рекомендуем проводить с точностью до двух знаков после запятой.
Задание 2

Организации, занимающейся перевозкой и продажей продукции, необходимо перевезти партию товара. При этом можно арендовать для перевозки по железнодорожной дороге 5- и 7- тонные контейнеры. 5-тонные контейнеры имеется в наличии не более 12 штук, а 7 тонных не более 33 штук. На перевозку всей продукции выделено не более 120 тысяч рублей, причем цена за аренду 5-тонного контейнера – 2тыс. рублей, а 7-тонного – 3 тыс. рублей. Определить сколько и каких контейнеров следует арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным.
Решение задачи оформить поэтапно:
 Построить математическую модель задачи;
 Решить задачу линейного программирования с использованием графического метода.
Задание 3

Некоторая фирма выпускает четыре вида (различной) продукции, используя четыре вида сырья. В таблице указаны:
• Технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц -го вида сырья требуется для производства одной единицы -го вида продукции;
• Прибыль , получаемая от производства -го вида продукции (в нижней строке таблицы);
• Запасы сырья в планируемый период (в тех же единицах).
Составить такой план выпуска продукции, при котором будет обеспечена максимальная прибыль.
Решение задачи оформить поэтапно:
• Составить математическую модель задачи;
• Привести задачу к каноническому виду, пояснить экономический смысл дополнительных переменных;
• Решить задачу симплекс-методом;
• Определить количество не израсходованного сырья при найденном оптимальном плане;
• Построить двойственную задачу, решить её;
• Дать экономический анализ двойственной задачи, оценить целесообразность введения в план нового вида продукции, если затраты на производство этой продукции и получаемая прибыль заданы в последней графе таблицы.

Таблица 1
Виды
Продукции
Виды сырья Технологические коэффициенты
Запасы сырья Новый вид продукции
 A B С D  
I 2 0,5 1 0,5 400 0
II 1 2 1 1,5 500 1
III 1 1 1 0,5 300 3
IV 1 1 0 1 100 4
Прибыль,
4 5 3 4  22
Задание 4

В городе имеются три домостроительных комбината (ДСК): А1, А2, А3, и строятся четыре микрорайона: В1, В2, В3, В4. Известны ресурсы А1 – 100, А2 – 130, А3 – 170 и производственные потребности унифицированных изделий микрорайона: В1 – 150, В2 – 120, В3 – 80, В4 – 50. Известны также затраты, связанные с доставкой одного комплекта унифицированных изделий из каждого пункта комплектования в каждый пункт назначения:

.
Требуется распределить продукцию ДСК по микрорайонам, чтобы суммарные приведенные затраты, связанные с доставкой всего груза от отправителя к потребителю, были минимальны.
Задание 5

Свести матричную игру к задаче линейного программирования:

.
Задание 6

Определить тип электростанции, которую необходимо построить для удовлетворения энергетических потребностей комплекса крупных промышленных предприятий. Возможные стратегии: А1 – сооружается гидроэлектростанция; А2 – сооружается теплоэлектростанция; А3 – сооружается атомная станция. Экономическая эффективность сооружения электростанции зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы Sj (j = 1, 2, 3, 4, 5). Результаты экономической эффективности приведены в таблице.

Тип станции Состояние природы
 П1 П2 П3 П4 П5
А1 40 70 30 25 45
А2 60 50 45 20 30
А3 50 30 40 35 60

Использовать критерии Вальде, Сэвиджа и Гурвица для λ = 0,3. Сравните решения и сделайте выводы.
Задание 7

Планируется распределение начальной суммы средств Е0 = 60 условных единиц между четырьмя предприятиями при условии, что средства выделяются только в размерах, кратных 10 условным единицам, и функции дохода fi (x) для i-го предприятия заданы таблицей.

 10 20 30 40 50 60
f1 2 3 4 5 6 7
f2 3 3 3 5 5 6
f3 2 3 5 5 5 6
f4 2 3 4 4 6 7

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Задание 8

Сетевая модель задана таблицей. Оценки продолжительности работ (минимальная и максимальная) заданы в сутках.

Работы
(i, j) (1, 2) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 8) (3, 4) (3, 6) (4, 7) (5, 7) (6, 8) (7, 8)
tmin (i, j) 8 2 1 2 8 1 9 4 1 7 5
tmax (i, j) 13 7 6 4,5 13 3,5 19 6,5 6 12 7,5

Требуется:
1. Отразить сетевую модель в графической форме.
2. Вычислить табличным методом все основные характеристики работ и событий, найти критический путь и его продолжительность.
3. На основе коэффициента напряженности выявить резервные работы.
4. Оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 30 суток.
5. Оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 88 %.
Задание 9

На АЗС установлено две колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на три автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем 10 маш./ч. Среднее время заправки одной автомашины – 3 мин.
Определить показатели эффективности работы автозаправочной станции.
Задание 10

Некоторой компании необходимо иметь в своем штате 1 000 инженеров, темп увольнения которых с работы является постоянным и составляет 140 человек в год. Перед тем как приступить к работе, вновь принятые инженеры объединяются в группы и проходят обучение на специальных курсах, организуемых компанией. Проведение каждого цикла обучения обходится компании в 25 000 ден. ед. Если нет возможности предоставить инженерам работу немедленно, то компания теряет 300 ден. ед. на человека в месяц.
Требуется:
1. Определить оптимальное количество n0 инженеров в группе на каждый курс обучения.
2. С какой частотой следует организовывать подобные курсы? Каково годовое значение общей стоимости обучения инженеров?
3. Как повлияет ограничение количества инженеров, обучающихся в течение одного цикла, до (n0 – 10) человек на решение, полученное в п. 1?

Год сдачи - 2012. Оценка - "Отлично"