Математический анализ часть 2-я

Задание 1

Степенной ряд. Область сходимости. Радиус сходимости.

Ответ:
Определение 1.
Ряд вида
(1)
называется степенным рядом.

Числа называются коэффициентами степенного ряда.
Придавая x различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Определение 2.
Множество тех значений x, при которых ряд (1) сходится – область его сходимости.
Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0.

Теорема 1(Абель)
1) Если степенной ряд (1) сходится при х=х0 (х0≠0),то он сходится, и при том абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию
2)Если ряд (1) расходится при х=х1, то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию

Теорема 2
Если ряд сходится не при всех значениях х и не только при х=0,то существует число такое, что ряд абсолютно сходится при и расходится при .
Таким образом, для всякого степенного ряда вида (1), если он только не является всюду расходящимся (исключая точку х=0), область сходимости представляет собой сплошной промежуток от –R до R, с включением концов или нет (на концах промежутка общего утверждения сделать нельзя, там может иметь место и сходимость и расходимость). Внутри промежутка, к тому же, ряд сходится абсолютно.

Определение 3
Число R называется радиусом сходимости ряда.
Если ряд сходится всюду на числовой оси, т.е. промежуток бесконечен, то считаем что (расширенная числовая ось).


Теорема 3.
Если существует предел , то радиус сходимости ряда
равен .

Теорема 4.
Если существует предел , то радиус сходимости ряда (1) равен .

Задание 2

Найти градиент функции в точке
, где , .
Решение:
Градиент находится по формуле:




Т.к. и не определены за счёт членов и , то в точке М(1;1) функция не имеет градиента.
В точке М(1;1) не определена и сама функция
Ответ: в точке М(1;1) функция не определена



Задание 3

Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
.
Решение:
Данная область интегрирования определена такими неравенствами:



Для изменения порядка интегрирования разобьем область интегрирования на две: D1 и D2 .






Ответ:




Задание 4

Найти область сходимости ряда

Решение:

Используем признак Даламбера:
Если для ряда существует предел , то при l < 1 ряд сходится, при
l >1 ряд расходится (при l = 1, вопрос о сходимости остается нерешенным).





Исследуем границы области сходимости:
а) 

По интегральному признаку Коши

Т.к. интеграл, несобственный, расходится, то расходится и породивший его ряд .

б) 

По признаку Лейбница для знакопеременных рядов
1) 
для всех n=1,2,3,...



2) 


Ряд сходится.

Т.к. ряд является рядом из абсолютных значений ряда и ряд расходится, то ряд , т.е. заданный ряд в т. x=1, сходится условно. Окончательно имеем: ряд сходится.

Ответ: ряд сходится
















Задание 5

Разложить функцию в ряд Фурье
при
Решение:
Ряд Фурье для функции заданной на интервале (-l; l):

, где коэффициенты Фурье:

Найдем коэффициенты Фурье функции :
Т.к. заданная функция четная , то ряд содержит только косинусы кратных дуг, т.е. все коэффициенты , поэтому
, где





Используем метод интегрирования по частям




Ряд Фурье для заданной функции имеет вид:



Ответ:



Задание 6

Решить дифференциальное уравнение
Решение:
- Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Решение ищем с помощью замены:

Тогда:

- дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.



Общий интеграл уравнения



Общее решение:


Ответ:






Задание 7

Найти частное решение дифференциального уравнения
, ,
Решение:
Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, с правой частью специального вида.
Решим сначала уравнение без правой части:

Характеристическое уравнение здесь имеет вид:


Если имеем комплексно сопряженные значения корней, то частные решения имеют вид

Общее решение уравнения имеет вид


Правая часть уравнения показательная функция , ищем частное решение также в форме показательной функции




Общее решение:



Найдем константы С1 и С2, исходя из начальных условий:




Частное решение имеет вид:

Ответ:

Контрольная работа по математическому анализу часть 2,вариант 2.зачтена без замечаний.сдавалась в 2016 году