Дискретная математика

Вариант 23

No1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а) A\B = AD (AÇ B) б) (AÈ C) ́ B = (C ́ B) È ((AÇ C) ́ B) È (A ́ B).

No2 Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 Í A ́ B, P2 Í B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2P1)–1. Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,3),(a,2),(a,4),(b,1),(c,4),(c,3),(c,2)}; P2 = {(1,1),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4),(4,3),(3,2),(3,4)}.

No3 Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P Í (Z+)2, P = {(x,y) | x2 = y}, где Z+ = {xÎ Z | x > 0}.

No4 Доказать утверждение методом математической индукции:
(4n + 6·n – 1) кратно 9 для всех натуральных n > 0.

No5 Девять сотрудников фирмы направляются на изучение иностранного языка, причем нужно распределить их для изучения английского, испанского, немецкого и французского языков (каждый изучает только один язык). Сколько существует различных способов такого распределения? Сколькими способами они могут устроиться заниматься в трех совершенно одинаковых комнатах библиотеки (не менее одного в комнате)?

No6 Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) не делящихся ни на одно из чисел 9, 14, 21? б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

No7 Найти коэффициенты при a=x3·y2·z6, b=x3·y·z2, c=x4·y4 в разложении (2·x+5·y2+3·z3)6.

No8 Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению 2·an+2 + 6·an+1 – 20·an = 0· и начальным условиям a1=4, a2=1.

No9 Орграф задан матрицей смежности. Необходимо:
а) нарисовать граф;
б) выделить компоненты сильной связности;
в) заменить все дуги ребрами и в полученном неориентированном графе найти эйлерову цепь (или цикл).

No10 Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;
б) кратчайшее расстояние от вершины v1 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.

Принятая работа из 10 заданий