Итоговое задание по предмету: Теория вероятностей и математическая статистика

ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Внимание! Данное задание необходимо выполнить и отправить на проверку преподавателю

Задание. Данное задание должно быть выполнено с использованием MS EXCEL. В результате выборочного обследования торговых предприятий получены следующие данные о значениях их дневного товарооборота (в тысячах рублей)

6,00  6,04  6,39 10,97 7,86 7,25 8,03 5,07 6,46 2,81
7,99 6,45 3,02 5,78 5,84 7,00 7,25 6,76 5,03 8,24
1,99 3,43 4,34 5,37 7,27 6,50 5,74 3,28 7,42 6,86
4,57 5,85 4,42 5,01 5,95 5,11 5,19 8,49 4,87 5,97
3,54 7,90 4,55 7,00 6,55 4,13    

 Найти промежуток, в который попадают выборочные значения признака.
 Построить интервальный вариационный ряд, разбив найденный промежуток на 10 равных частей. Результаты оформить в виде статистического распределения выборки.
 Найти основные выборочные характеристики статистического распределения: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
 Найти точечные оценки основных генеральных характеристик, используя соответствующие выборочные характеристики.
Методические указания к выполнению задания.
Введите числовой массив выборочных данных.
В качестве примера задание будет выполнено для следующих выборочных данных признака Х (дневной товарооборот торговых предприятий в тыс. р.):

2,56 1,28 5,53 7,66 4,72 3,99 3,26 1,13 4,25 5,04
2,87 2,24 2,00 2,25 7,35 4,92 4,98 2,41 3,44 8,46
3,39 8,30 6,66 5,21 6,98 7,26 5,13 7,27 3,97 4,09
6,45 4,95 1,91 5,46 4,31 3,01 4,86 5,83 2,99 5,78
7,74 1,92 1,96 4,07 1,87 2,97 4,43 5,85 6,33
 
1. С помощью встроенной функции СЧЕТ из категории Статистические подсчитайте объём выборки n. В появившемся окне для функции СЧЕТ в поле Значение 1 выделите все ячейки введенного массива данных. В нашем примере количество вариант n = 49.
Наименьшее значение варианты находится с помощью встроенной функции МИН из категории Статистические, В нашем примере x_min=1,13.
Аналогично найдите наибольшее значение варианты среди приведенных выборочных данных с помощью функции МАКС. В примере x_max=8,46.
Все варианты массива данных находятся в некотором промежутке [a; b]. Рекомендуется в качестве концов промежутка a и b выбрать целые значения, ближайшие к x_min и x_max таким образом, чтобы взятый промежуток включал весь диапазон выборочных данных. В нашем примере это промежуток [1; 9].
Разбейте данный промежуток на 10 равных частей (n = 10). Шаг разбиения равен
h=(b-a)/n,
в нашем примере h = 0.8.
2. Постройте интервальный вариационный ряд, оформив табл. 1. В первый столбец табл. 1 поместите номера частичных интервалов. Во второй и третий столбцы табл.1 поместите левые и правые границы частичных интервалов, которые получаются путем последовательного добавления шага h. Здесь и в дальнейшем используйте операцию Автозаполнение.
Для заполнения четвертого столбца табл.1 подсчитайте, сколько значений признака Х попадает в каждый частичный интервал с помощью функции ЧАСТОТА из категории Статистические. Выделите соседний (четвертый) столбец из 10 пустых ячеек и в окне функции ЧАСТОТА в позиции Массив данных выделите исходный массив данных. В позиции Массив интервалов укажите адрес столбца правых концов частичных интервалов. Для завершения команды ЧАСТОТА нажмите одновременно клавиши [Shift]+[Ctrl] + [Enter]. В выделенном столбце ячеек появятся значения абсолютных частот n_i, которые показывают, сколько вариант из массива данных попало в каждый частичный интервал. Убедитесь, что сумма частот равна объему выборки n, найденному ранее.
В дискретном распределении в качестве значений вариант xi берут середины частичных интервалов:
x_i=(a_i+b_i)/2.
3. Для построения гистограммы, полигона относительных частот и полигона накопленных относительных частот заполните последние два столбца табл. 1.
Относительные частоты значений признака Wi находят по формуле
W_i=n_i/n, i=1,2,...,10.
Найдите сумму значений этого столбца, которая должна быть равна 1.
Далее вычислите накопленные частоты W_i^нак. Накопленная относительная частота для каждого интервала находится как сумма частот всех предыдущих интервалов, включая данный:
W_i^нак=W_(i-1)^нак+W_(i ), W_0=0, i=1,...,10.
В последнем десятом интервале появится сумма всех относительных частот, которая должна быть равной 1.
Таблица 1
No a_i b_i n_i x_i W_i W_i^нак
1 1,0 1,8 2 1,4 0,0408 0,0408
2 1,8 2,6 9 2,2 0,1837 0,2245
3 2,6 3,4 6 3,0 0,1224 0,3469
4 3,4 4,2 5 3,8 0,102 0,449
5 4,2 5,0 8 4,6 0,1633 0,6122
6 5,0 5,8 6 5,4 0,1224 0,7347
7 5,8 6,6 4 6,2 0,0816 0,8163
8 6,6 7,4 5 7,0 0,102 0,9184
9 7,4 8,2 2 7,8 0,0408 0,9592
10 8,2 9,0 2 8,6 0,0408 1

  49  1 

Далее найдите основные выборочные характеристики, полученного статистического распределения. К ним относятся выборочная средняя, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение. Расчетные формулы для их вычисления имеют вид:
̄x_B=(∑_(i=1)^k▒x_i n_i)/n=(x_1 n_1+x_2 n_2+⋯+ x_k n_k)/n.
- среднее выборочное значение, это значение признака Х, вокруг которого группируются наблюдаемые значения xi;
D_B=(∑_(i=1)^k▒〖〖(x_i- ̄x_B)〗^2 n_i 〗)/n
- выборочная дисперсия, характеризует «разброс» значений xi признака Х от среднего выборочного значения ̄x_B.
σ_B=√(D_B ).
- выборочное среднее квадратическое отклонение, это та же характеристика «разброса», но в единицах признака Х.
Все дальнейшие вычисления поместите в расчетную табл. 2.
В первом столбце таблицы выписаны порядковые номера частичных интервалов. Во второй столбец занесены значения признака xi – это середины соответствующих частичных интервалов.
В третий столбец внесены абсолютные частоты ni для каждого частичного интервала из табл. 1. Найдите сумму всех абсолютных частот n = ni (в примере n = 49).
Таблица 2
No x_i n_i 〖x_i n〗_i 〖(x_i- ̄x_B)〗^2 n_i
1 1,4 2 2,8 19,47
2 2,2 9 19,8 48,47
3 3,0 6 18,0 13,86
4 3,8 5 19,0 2,59
5 4,6 8 36,8 0,05
6 5,4 6 32,4 4,65
7 6,2 4 24,8 11,29
8 7,0 5 35,0 30,75
9 7,8 2 15,6 21,52
10 8,6 2 17,2 33,29
 - 49 221,4 185,91

В столбец, озаглавленный 〖x_i n〗_i, введите соответствующие величины и в ячейку итоговой строки поместите сумму всех чисел этого столбца. В примере эта сумма равна 221,4. Вычислите среднее выборочное значение, которое в нашем примере ̄x_B=4,52. На основе результатов, помещенных в последнем столбце (〖(x_i- ̄x_B)〗^2 n_i), получите величину выборочной дисперсии. Для рассматриваемого примера D_B≈3,79, σ_B≈1,95.
Пусть генеральная средняя ̄x_r неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки. В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю:
̄x_r≈ ̄x_B.
Можно показать, что оценка ̄x_B является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней ̄x_r.
Выборочная дисперсия D_B является смещенной оценкой генеральной дисперсии D_r, поэтому выборочную дисперсию «исправляют», умножая ее на множитель n/(n-1). В результате получают так называемую исправленную выборочную дисперсию
s^2=n/(n-1) D_B,
которая является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной дисперсии D_r
〖D_r≈s〗^2=n/(n-1) D_B,

σ_r≈s=√(s^2 ).

Для нашего примера точечные оценки генеральных характеристик:

〖 ̄x_r=4,52,D〗_r≈3,87, σ_r≈1,97.

Полученные результаты сохраните на листе 1. В итоге на первом листе Вы должны сохранить:
 массив исходных данных;
 итоги вычислений:
n=49,x_min=1,13,x_max=8,46,[a;b]=[1;9],
m=10,h=0,8.
 расчетные табл. 1 и 2;
 гистограмму и полигон относительных частот;
 график комуляты распределения
 основные характеристики выборочного распределения:
〖 ̄x_B=4,52,D〗_B≈3,79, σ_B≈1,95.
 точечные оценки генеральных характеристик:

〖 ̄x_r=4,52,D〗_r≈3,87, σ_r≈1,97.

Оценка: Хорошо