Сходящиеся последовательности

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n3 N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<e .

При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+a n, xn=b+b n, где a n и b n – элементы бесконечно малых последовательностей {a n} и {b n}.
Вычитая данные соотношения, найдем a n-b n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a n-b n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.