Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

Представляется соблазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля, последовательно уменьшая его раствор, или измерить площадь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции. Для обычных кривых такая процедура дает хороший результат. В то же время известно, что уже для обычных поверхностей (например, для цилиндра) возникают аномалии; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе площадей Шварца, который заслуживает широкой известности и будет обсуждаться ниже. Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности. Попытаемся использовать такую процедуру для самоаффинных фракталов и покажем, что размерности, к которым она приводит, отличаются от массовой и клеточной размерностей.
2. Измерение длины самоаффинных фрактальных кривых, являющихся графиками функций 2.1. Измерение длины с использованием «сосиски» Минковского дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG
Следуя Минковскому и Булигану, определим приближенную длину кривой В(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности), используя «сосиску» Минковского, содержащую все точки на расстоянии, меньшем чемСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности, от данной точки кривой. Для обычной спрямляемой кривой и при Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности<< 1 В(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) = (2Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)-1 (площадь сосиски). Для самоподобной кривой (см. [2], с. 36) B(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)~Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности1-D, для самоаффинной кривой площадь сосиски при малых Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиведет себя как N(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности)Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности-2 ~ Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиH, и поэтому локальная размерность равна 2—Н. Глобальная размерность равна 1. Оба этих значения встречались в части I данной статьи.
2.2. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации последнего выхода кривой дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG
В одном из многих методов нахождения длины спрямляемой кривой используется измерительный циркуль, перемещающийся вдоль кривой. На кривой могут быть узлы, т. е. кратные точки произвольного порядка; достаточно, чтобы точки кривой были упорядочены, например «во времени». Начнем с исходной точки р0. Первая точка Р1 будет первым выходом кривой из круга с центром в ро и радиусом Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностии т. д. Если обозначить через L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности) длину возникающей ломаной линии, приближенно описывающей нашу кривую, то длина кривой будет lim Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхностиСамоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности0 L(Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности).