2-й семестр. Лекции по Высшей математике

Неопределённый интеграл.
О: Первообразной от функции y=f(x) называется функция F(x), такая что F’(x)=f(x)
Т: Всякая непрерывная функция y=f(x) имеет бесконечное множество первообразных, причём любые две из них отличаются друг от друга постоянным числом.
Д: Ф(x)≠F(x), F’(x)=f(x) и Ф’(x)=f(x) => [F(x)-Ф(x)] ’=0 => F(x)-Ф(x)=const <=> F(x)=Ф(x)+const
О: Выражение, охватывающее множество всех первообразных для данной функции y=f(x), называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается следующим образом: ∫f(x)dx=F(x)+c
Свойства неопределённых интегралов.
1. [∫ f(x)dx]’=[ F(x)+c]’=f(x) => [∫ f(x)dx]’=∫f ‘(x)dx
2. ∫[f1(x)+f2(x)+...+fn(x)]dx=∫f1(x)dx +∫f2(x)dx+...+∫fn(x)dx
Д: [∫[f1(x)+f2(x)+...+fn(x)]dx]’=f1(x)+f2(x)+...+fn(x); [∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+...+∫fn(x)dx]’=[∫f1(x)dx]’+[∫f2(x)dx]’+...+[∫fn(x)dx]’=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)
3. ∫сf(x)dx=с∫f(x)dx
Д: (с∫f(x)dx)’=c(∫f(x)dx)’=cf(x)
4. Инвариантность (неизменность) формул интегрирования:
Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид, если вместо независимой переменной использовать любую другую независимую переменную,т.е
∫f(x)dx=F(x)+c => ∫f(u)du={u=u(x)}=F(u)+c
Д: dF(u)=F’(u)du => ∫dF(u)= ∫F’(u)du=∫f(u)du => ∫dF(u)=F(u) => ∫f(u)du=F(u)+c
Интегрирование по частям.
U=U(x), V=V(x), тогда ∫U(x)dV(x)=U(x)V(x)-∫V(x)dU(x)
Д: d(U•V)=VdU+UdV => ∫ d(U•V)= ∫(VdU+UdV) <=> ∫UdV=UV-∫VdU
Понятие рациональной дроби.
Пусть даны два многочлена Рn(х)=anxn+an-1xn+1+...+a1x1+a0 и Qm(x)= bmxm+bm-1xm+1+...+b1x1+b0
(an, bm≠0).
О: Функция R(х) называется дробнорациональной функцией, если она представлена в виде R(х)= Рn(х)/ Qm(x).
О: Если n<m, то функция R(х) называется правильной дробнорациональной функцией. Если n>(=)m, то R(х) – неправильная дробно-рациональная функция. Любую дробнорациональную функцию при помощи деления числителя на знаменатель уголком можно представить в виде суммы многочлена неправильных дробнорациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
1. Qm(x)={ bm=1}=xm+bm-1xm+1+...+b1x1+b0=(x-x1)(x-x2)...(x-xm), где x1, x2, xm – корни многочлена Qm(x).
R(x)={R(x)-правильная дробнорациональная функция}=Рn(х)/Qm(x)=Рn(х)/((x-x1)(x-x2)...(x-xm))
О: Выражение Аi / (x-xi) (iєN) называется простейшей рациональной дробью.
R(x)=А1 /(x-x1)+А2 /(x-x2)+...+Аь /(x-xm).
2. Qm(x)={ bm=1}=xm+bm-1xm+1+...+b1x1+b0=(x-x1)k1(x-x2)k2...(x-xm)km , (k1+k2+...+km=m)
Если Qm(x) имеет кратные корни 2, то к каждому множителю соответствует степень ((x-xi)mi).
1≤i≤m.