Курсовая работа. теория вероятностей. математическая статистика.

1. В аналитическом отделе фирмы (5+β) менеджеров и (15-β) финансистов.
Для выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек.
Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет:
а) ровно два;
б) не менее одного.
9
2. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с
иском о возмещении ущерба первый клиент, равна (15+β)/100. Для второго
клиента вероятность такого обращения равна (20+β)/100. Для третьего
клиента - (10+β)/100. Найти вероятность того, что в течение года в страховую
компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов -
события независимые.
3. В консультационной фирме (21+β)% сотрудников получает высокую
заработную плату. Известно также, что женщины составляют (40+β)%
сотрудников фирмы, при этом (6,4+β/10)% сотрудников – женщины,
получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в
консультационной фирме существует дискриминация женщин в оплате
труда? Ответ объяснить, сформулировав решение задачи в терминах теории
вероятностей.
4. В брокерской компании, в которой (30+β)% составляют сотрудники
первого отдела, (25+β)% - второго, остальные третьего, результаты работы
оцениваются по отдаче с каждого инвестированного сотрудником рубля
(высокая или низкая). Анализ последнего месяца работы показал, что низкую
отдачу имеют (2+β/10)% сотрудников первого отдела, (1+β/10)% - второго и
(1,5+β/10)% - третьего отдела. Какова вероятность того, что случайно
выбранный сотрудник компании за последний месяц показал высокую
отдачу? Если сотрудник показал низкую отдачу, то в каком отделе, скорее
всего, он работает?
5. В рамках маркетингового исследования нового товара компания-
производитель проверяет спрос на него по результатам отзывов случайно
выбранных потенциальных покупателей. Для определенного товара известно,
что вероятность его возможного успеха на рынке составит (0,75+β/100), если
товар действительно удачный, и (0,15+β/100), если он неудачен. Из прошлого
опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с
вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее
результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того,
что это действительно так?
6. Отдел менеджмента одного из предприятий разрабатывает новую
стратегию выпуска продукции. Известно, что при определенном
технологическом процессе (75+β)% всей продукции предприятия - высшего
сорта, а всего производится (200+10β) изделий. Стратегия, разработанная
отделом менеджмента, основана на том, что предприятие будет
рентабельным, если выпуск продукции высшего сорта будет составлять не
менее (150+10β) изделий. Оценить критически новую стратегию выпуска
продукции (определив наивероятнейшее число изделий высшего сорта из
(200+10β) изделий и вероятность этого события).
7. Торговый агент в среднем контактирует с 4 потенциальными
покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что
потенциальный покупатель совершит покупку, равна (0,3+β/100). Составить
10
закон распределения ежедневного числа продаж для агента. Найти числовые
характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что у
агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?
8. Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием
М(Х)=6+0,1α-0,3β задана рядом распределения
xi α-10 0 10-β 20
pi p1 0,4 p3 0,2
а) Найти р1 и р3;
б) построить многоугольник распределения;
в) построить интегральную функцию распределения F(x) и ее график;
г) вычислить дисперсию D(X); пояснить, как можно интерпретировать
ее значение.
9. В нормально распределенной совокупности (15+β)% значений случайной
величины X меньше (11+β) и (45+β)% значений случайной величины X
больше (17+β). Найти параметры этой совокупности.
10. Прибыль от реализации инноваций в течение месяца описывается
следующей функцией плотности распределения вероятностей









0 , где 10 x
, где 0 x 10
0, где - 0
( )

kx
x
f x
Найти:
а) параметр k;
б) среднюю ожидаемую прибыль;
в) интегральную функцию распределения F(x) и ее график;
г) вероятность того, что прибыль от реализации инноваций составит
не меньше, чем (10-α).
11. Случайная величина имеет биноминальное распределение с
математическим ожиданием M(X)= 1
(10 )
4
 и дисперсией D(X)= 1 2
(100 )
80
.
Найти Р(X 2).
12. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет (2+β)·106
руб., а
вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает (1+β)·104
руб., равна 0,8. Каково число вкладчиков данного банка?
13. В среднем за час автомойку посещает п клиентов. Найти вероятность того,
что за два часа автомойку посетят не менее k клиентов, и вероятность того,
что в течение как минимум T минут на автомойке не будет ни одного
клиента. Число посетителей за час распределено по закону Пуассона, а время
ожидания клиента распределено по показательному закону (см. данные в
таблице).
11
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n 5 7 3 5 4 7 6 5 6 8 8 7 5 4 6
k 9 12 7 11 9 16 13 9 13 17 11 10 7 9 8
T 10 15 25 15 10 10 15 10 17 20 13 12 19 25 13
Вариант 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n 5 6 5 9 6 9 6 6 8 8 9 8 7 5 9
k 9 13 8 16 14 13 10 12 14 11 12 12 12 7 14
T 12 14 15 12 16 14 10 18 19 14 22 21 10 10 17
14. Фирма принимает заказы на некоторые услуги по телефону в течение
одного часа. В стационарном режиме интенсивность потока входных заявок
λ=(30-α) 1
мин
, а среднее время обслуживания одной заявки Тобсл=
1
(10 ) 
мин.
Доход, приносимый одной принятой заявкой в среднем составляет D=(10+α)
ден. ед., а стоимость содержания одного канала, т.е. телефонного аппарата
вместе с оператором С=(50-β) .
.
ден ед
мин
.
Оценить работу фирмы (определив характеристики работы системы)
и найти доходы фирмы Δn для n=1,2,3 (n–число каналов). Предполагается,
что в случае занятости канала, происходит отказ без постановки в очередь.
Провести анализ влияния числа каналов обслуживания на оценку
работы фирмы и сделать вывод о целесообразности двухканальной и
трехканальной системы.
Примечание. Доход Δn=DАn–nС, где Аn- абсолютная пропускная способность
системы массового обслуживания. При расчетах вероятностей состояний
рекомендуется сохранить две значащие цифры после запятой.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
15. Объем дневной выручки в пяти торговых точках (в тыс. у.е.) составил:
(10+β), (15+β), (20+β), (17+β), х5. Учитывая, что x = (16+β), найти
выборочную дисперсию s
2
.
16. Администрацию универсама интересует оптимальный уровень запасов
продуктов в торговом зале, а также среднемесячный объем продаж товаров,
не являющихся предметом ежедневного потребления в семье (таких,
например, как сода). Для выяснения этого вопроса менеджер универсама в
течение месяца регистрировал продажи соды и представил результаты в виде
дискретного вариационного ряда
xi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
mi 2 3 7+α+β 12-α-β 3 2 1
где x1=α, xi=x1+(i-1), i 1,7 , mi – частоты.
Требуется:
12
а) построить полигон относительных частот
n
m
w
i
i ;
б) вычислить среднее выборочное x , выборочную дисперсию Dx и
среднее выборочное квадратичное отклонение σx.
Какие рекомендации следует дать администрации универсама?
17. При изучении структуры коммерческих банков по объявленному
уставному фонду было отобрано сто. Данные о распределении банков по
этому признаку представлены в таблице:
Размер
уставного
фонда
xmin 0 10+10β 20+20β 30+30β 40+40β 50+50β
Итого
xmax
10+10β 20+20β 30+30β 40+40β 50+50β 60+60β
Число
банков ni
7 9 18 34 22 10 100
Найти:
а) вероятность того, что средний размер уставного фонда банка среди
всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не
более чем на пять миллионов рублей (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех
банков, размер уставного фонда которых не менее (40+40β) миллионов
рублей;
в) объем выборки, при котором то же отклонение среднего размера
уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)),
можно гарантировать с вероятностью 0,95.
18. По данным задания 17 необходимо:
а) используя χ
2
- критерий Пирсона, при уровне значимости =0,05
проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер уставного
фонда распределена по нормальному закону;
б) построить на одном чертеже гистограмму эмпирического
распределения и соответствующую нормальную кривую.
19. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100
семей. Вычислены оценки: x = (1500+100β), s = (200+10β). В предположении
о нормальном законе:
а) оценить долю семей, чей среднедушевой доход находится в
пределах от 1200 до 1800;
б) выяснить при уровне значимости =0,05 можно ли считать
(1600+100β) руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу
H0: а= (1600+100β) против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ (1600+100β);
в) построить доверительный интервал для неизвестного
математического ожидания а и дисперсии σ
2
(принять γ = 0,95).
20. По данным 16 сотрудников фирмы, где работает (200+10β) человек,
среднемесячная заработная плата составила (300+10β) у.е., при s = (70+β) у.е.
Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с
13
вероятностью 0,99 гарантировать выдачу заработной платы всем
сотрудникам?
21. С целью размещения рекламы опрошено (400+10β) телезрителей, из
которых данную передачу смотрят (150+10β) человек. С доверительной
вероятностью 0,95 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем
случае. Случайны ли результаты опроса при уровне значимости =0,05, если
согласно статистике доля телезрителей, охваченных рекламой, составляет
(0,41+β/100)?
22. Распределение ста предприятий по размерам основных производственных
фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей)
дано в таблице:
y1 y2 y3 y4 y5 mxi
x1 2 3 – – – 5
x2 3 8 2 – – 13
x3 – 8+α 12+β – – 20+α+β
x4 – – 16-α 14-β – 30-α-β
x5 – – 9 10 – 19
x6 – – 3 6 1 10
x7 – – – 1 2 3
myj 5 19+α 42+β-α 31-β 3 n=100
x1=10-α, xi=x1+(i-1)hx, hx=1-0,1(10-β)

, y1=10-α , yj=y1+(j-1)hy, hy=10-α,
i 1,7 , j 1,5 .
Необходимо:
а) построить поле корреляции;
б) вычислить групповые средние y x
x ; y и построить линии групповых
средних выпуска продукции;
в) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная
корреляционная зависимость:
- найти оценку линейной регрессии У на Х, построить ее график на
том же чертеже и дать экономическую интерпретацию получившегося
уравнения;
-используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний
выпуск продукции предприятий, основные фонды которых составляют 81
млн руб.;
- вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости =0,05
определить значим или нет выборочный коэффициент корреляции и дать его
экономическую интерпретацию.

Если данное выражение для hx получилось равно 0 (для случая β=0), то принять hx=1.
14
23-24. Сформулировать две задачи из предметной области своей будущей
профессиональной деятельности, требующие применения вероятностно-
статистических методов. Привести необходимые исходные данные,
решить задачи, сделать обоснованные выводы