Контрольная работа по дисциплине: Основы компьтерного проектирования РЭС. Вариант №08

Новосибирск

2013

Введение

Целью выполнения курсовой работы является приобретение навыков применения пакета прикладных программ MathCAD.
Для выполнения курсовой работы необходимо знать основные положения синтаксиса среды MathCAD и правила выполнения расчетов и построения графиков в ней. Кроме того в процессе выполнения курсовой работы студент получает опыт расчета и анализа полученных результатов для такого важного элемента техники телекоммуникаций как частотно-селективные устройства (фильтры).
Курсовая работа выполняется студентом в соответствии с вариантом, по последним двум цифрам номера студенческого билета.
Если последние две цифры превышают заданное число вариантов, то вариант выбирается по последней цифре студенческого билета.
Результатом выполнения индивидуального задания являются графики зависимостей группового времени запаздывания от частоты, амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик выбранных типов фильтров и схема выбранного типа фильтра.
Работа выполняется на персональном компьютере в программной среде MathCAD (можно использовать любые версии, начиная с 2001-ой).
Среду можно установить через Интернет или с дистрибутива.




2 ЗАДАНИЕ

В процессе выполнения задания необходимо:
а) по данным таблицы 1 (в соответствии с вариантом задания определяется выбрать данные для расчета аналогового фильтра нижних частот (АФНЧ). Расчет характеристик фильтра ведется по заданным значениям неравномерности группового времени запаздывания (Amax, дБ) в полосе пропускания (граничная частота fPP ) и требуемому затуханию (Amin, дБ) на граничной частоте полосы непропускания (fpn) (рис. 1)

Рисунок 1

б) рассчитать минимальный порядок АФНЧ Баттерворта и Чебышева;
в) для фильтра имеющего наименьший порядок рассчитать с помощью программной среды MathCAD амплитудно-частотную (АЧХ), фазо-частотную (ФЧХ) характеристики и зависимость группового времени запаздывания от частоты (τ(w));
г) сравнить полученные значения времени запаздывания с нормами для звуковых сигналов в радиовещательных трактах (таблица 2). Если полученные значения для выбранного типа АФНЧ не удовлетворяют нормам, то необходимо выполнить аналогичные расчеты для другого типа фильтра и произвести окончательный выбор типа АФНЧ (если оба типа не удовлетворяют требованиям, то необходимо уменьшить требования к АФНЧ по Amin на 2-10 дБ пока требования не будут удовлетворяться и повторить расчеты;

д) произвести расчет элементов схемы АФНЧ выбранного типа и составить схему.

Для выполнения курсового проекта достаточно методических указаний и лекционного материала.

Таблица 1
No  01 02 03 04 05 6
Amin, дб 60 50 45 40 35 30
Amax, дб  3 2 1,5 1,5 1 1
wn 1,6 1,5 1,4 1,3 1,4 1,2
fв, кГц 5 8 13 19 17 9
No  07 08 09 10 11 12
Amin,дб 25 25 20 20 15 10
Amax, дб 0,5 1 1 0,5 0,5 0,5
wn 1,3 1,2 1,6 1,2 1,4 1,3
fв, кГц 7 18 16 15 7 11
No  13 14 15 16 17 18
Amin,дб 25 25 20 30 12 10
Amax, дб 1 2 0,3 1,5 0,8 0,3
wn 1,8 1,3 1,9 1,2 1,6 1,4
fв, кГц 10 18 14 8 11 10
No  19 20 21 22 23 24
Amin, дб 35 15 28 30 25 12
Amax, дб 2,5 0,4 1 0,5 0,9 0,7
wn 1,1 1,7 1,5 1,4 1,7 1,1
fв, кГц 20 8 8,5 11,5 10,5 17,5


Пояснения к обозначениям в таблице 1, 2.

- fв ( обычно fPP = fв )– верхняя частота звукового сигнала, соответствует граничной полосы пропускания ФНЧ (обычно при расчете фильтра принимается в качестве нормирующей частоты);
- Аmin – рабочее затухание на граничной частоте полосы непропускания АФНЧ (граничная частота полосы непропускания fpn равна wnfв - из таблицы 1, где wn- нормированная граничная частота полосы непропускания);
- Аmax – неравномерность затухания в полосе пропускания АФНЧ.
В таблице 2 заданы нормы на групповое время запаздывания (τd) для ряда частот в соответствии со стандартами для трактов радиовещательных сигналов.
В таблице 2 -f – текущая частота в кГц.

Таблица 2
f, кГц 4•10-2 7,5•10-2 0,1 6,4 7 14 15
τd, мс 55 24 20 5 10 8 12



3 ПОРЯДОК И ПРИМЕР РАСЧЕТА АФНЧ

Расчет предполагает выбор фильтра, обеспечивающего заданные требования с наименьшим порядком N и удовлетворяющего требованиям по групповому запаздыванию сигнала.
Поскольку групповое время запаздывания является производной от аргумента амплитудно-частотной характеристики фильтра (H(w)) (записи формул приводятся для среды MathCAD)

,

а H(w) определяется через значения полюсов аппроксимирующих полиномов, количество и значения которых можно проводить по следующей схеме:
- определение порядков фильтров Баттерворта и Чебышева для заданных значений Аmax,
Аmin, wn (нормированной частоты полосы непропускания fд/2 деленной на fв), для фильтра Баттерворта:


где
,
Nb присваивается целое значение, но не меньше расчетного (Nb:=ceil Nb)

А для фильтра Чебышева

,

Nс:=ceil(Nс)

- для фильтра, имеющего наименьший порядок рассчитывается зависимость τ(w) и строятся две зависимости на одном графике:
для фильтра Баттерворта

τd:=Ψ(w) и τb:=Ψ1(w),

а для фильтра Чебышева:

τd:= ψ(w) и τс:= ψ1(w),

где w нормированная относительно fв частота (f, деленная на fв)
τd строится по данным таблицы 2 путем кусочно-линейной или сплайн интерполяции (в среде MathCAD), с учетом того, что w в таблице 2 в кГц равна f/10, где f – текущая частота в Гц;
- если для всех частот, приведенных в таблице 2 для фильтра, имеющего наименьшее значение N
τd ≥ τс или τd ≥ τb,
то фильтр удовлетворяет всем требованиям поставленной задачи. В противном случае необходимо произвести проверку по τ(w) для другого типа фильтра (у которого порядок выше). Если и у него не удовлетворяются требования по групповой задержке, то можно сделать вывод, что при заданных значениях Аmax, Аmin и wn данные фильтры не могут удовлетворять требованиям стандартов по групповому запаздыванию сигнала и следует руководствоваться указаниями пункта д) раздела 2.

Замечание
следует отметить, что фильтры Баттерворта обеспечивают максимально плоское ослабление в полосе пропускания (легче удовлетворить требования по Аmax и τ(w), а фильтры Чебышева обеспечивают значительно большее рабочее ослабление Аmin чем фильтр Баттерворта при равных значениях Аmax и N.
Этот фильтр, эллиптический фильтр или фильтр Кауэра, объединяет в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ такого фильтра имеет пульсации заданного уровня, как в полосе пропускания, так как и в полосе задерживания, что позволяет получить высокую крутизну скатов АЧХ.
Функция передачи имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае с фильтром Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей функции равно максимальному четному числу, но не превосходит порядок фильтра.
Фильтры Бесселя позволяют получить наименьшее значение τ(w), однако их частота среза зависит от порядка фильтра N и поэтому они не рассматриваются.
Ниже приводятся выражения, необходимые для расчета зависимостей
τb(w) и τd(w).
Для фильтра Баттерворта (запись в среде MathCAD):
p(w):=i•w



Для фильтра Чебышева:

Таким образом порядок расчета АФНЧ следующий:
3.1 Для выбранных параметров в программной среде «MathCAD» определяются значения Nb и Nc.
3.2 Записываются программы расчета τb(w) и τc(w).
3.3 Выполняется кусочно-линейная или сплайн-интерполяция функции τd(w) (таблица 2).
3.4 На одном графике строятся зависимости τd(w), τb(w) и τc(w). После анализа графиков необходимо сделать выводы.
В качестве примера на рисунке 6 приведены графики указанных выше зависимостей для Аmin=20, Аmax=0,5 wn=1,6, из анализа которых следует, что заданным условиям и допустимой задержке удовлетворяют оба ФНЧ, но ФНЧ Чебышева 4-го порядка имеет порядок ниже ФНЧ Баттерворта (τd(w) обозначено как w(x)).

Рисунок 6 – Графики группового времени запаздывания
1 – нормы, 2 – для ФНЧ Чебышева, 3 – для ФНЧ Баттерворта

3.5 Далее следует построить нормированную АЧХ фильтра, удовлетворяющего всем требованиям и имеющего наименьший порядок (рисунок 7).


Рисунок 7 – АЧХ ФНЧ Чебышева

3.6 Выводы по расчету АФНЧ должны содержать ответы на следующие вопросы:
- из каких соображений определяется порядок фильтра;
- показать на АЧХ фильтра значение частот wв и wn (нормированные fв и fд/2);
-почему необходимо обеспечить требуемое групповое время запаздывания для фильтра в полосе пропускания;
- особенности фильтра Баттерворта;
- особенности фильтра Чебышева;
- какой из 2-х типов фильтров выбран и почему?

4 ПРИМЕР РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ СХЕМЫ АНАЛОГОВОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ (АФНЧ)

Обычно активные фильтры формируются в виде каскадного соединителя четырехполюсников, обладающих относительно простой структурой и называемых звеньями ARC – фильтра (рисунок 8).



Рисунок 8 – Звенья ARC – фильтра

При этом степень передаточной функции отдельного звена не превышает числа 2. Поэтому при нечетном числе звеньев в фильтре N, одно звено фильтра будет первого порядка.

РЕАЛИЗАЦИЯ ЗВЕНЬЕВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Фильтр нижних частот первого порядка может быть реализован, если в цепи обратной связи операционного усилителя использовать пассивный RC-фильтра первого порядка (рисунок 9).


Рисунок 9 – Активный фильтр нижних частот первого порядка



РЕАЛИЗАЦИЯ ЗВЕНЬЕВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

На рисунке 10 представлена схема ARC – фильтра нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью.


Рисунок 10 – Активный фильтр нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью

Реализация передаточных функций фильтров на активных RC-цепях осуществляется следующим образом [2]. Заданную функцию H(p) порядка m разбивают на произведение передаточных функций не выше второго порядка, то есть H(p) = H1(p)H2(p)...Hm(p). Каждую передаточную функцию Hi(p) реализуют в виде ARC-звена первого или второго порядка. Схему ARC-фильтра получают путем каскадного соединения фильтров. Полиномиальные фильтры (Баттерворта, Чебышева, Гаусса) можно реализовать по одной схеме. Пусть, в соответствии с расчетом, требуется фильтр 5-го порядка.
,

где k0 – константа нормирования, а полюса функции p1, p2, p3, p4 и p5 найдены, например, такими:

p1 = -1.0551 + 0.0000i

p2 = -0.8536 + 0.6202i

p3 = -0.8536 – 0.6202i

p4 = -0.3260 + 1.0035i

p5 = -0.3260 – 1.0035i
Вещественный полюс p1 дает по теореме Виета сомножитель первого порядка (p – p1) = p + 1.0051; первая пара комплексно-сопряженных полюсов p2 и p3 – сомножитель второго порядка
(p – p2)(p – p3) = p2 + 1.7072p + 1.1133;
вторая пара полюсов и – сомножитель второго порядка
(p – p4)(p – p5) = p2 + 0.6520p + 1.1133;
Тогда




H(p) = Hp1(p)Hp2(p)Hp3(p)

Таким образом, фильтра Баттерворта пятого порядка может быть реализован двумя звеньями с передаточными функциями второго порядка и одним звеном передаточной функцией первого порядка.
Передаточная функция активной RC-цепи может быть получена любыми из методов теории цепей и имеет вид:
     (1)
Для реализации в виде такой цеп полиномиального фильтрового звена второго порядка с передаточной функцией
        (2)
нужно выбрать проводимости Y1, Y3 и Y4 активными: G1, G3 и G4, а проводимости Y2 и Y5 – емкостными: pC2 и pC5. Тогда выражение (1) запишется в следующей форме:
     (3)
Сопоставление коэффициентов при p в соответствующих степенях и свободных членов из (3), выраженных через элементы фильтра, с заданными числовыми значениями коэффициентов при p и свободных членов из (2) позволяют определить значения элементов фильтра.
Выражение (3) представим в виде:

Приравнивая коэффициенты при p и свободные члены этих передаточных функций получаем три уравнения с шестью неизвестными:


Поскольку искомых величин больше, чем уравнений, зададимся частью из них. Выберем приемлемые значения проводимостей G1, G3 и G4 равными 10-3 см, то есть R1 = R3 = R4 = 1кОм. Далее из 2-го и 3-го уравнений получаем:


Денормированные значения емкостей
,
,
где рад/с
Для второго звена фильтра С3 = 18.6 нФ, С4 = 511.2 нФ.
Аналогично получаем для третьего звена С5 = 48.8 нФ, С6 = 2.1 нФ.
Для первого звена первого порядка получаем С1 = 31.8 нФ, С2 = 3.4 нФ.

Литература

1. Катунин Г.П., Мамчев Г.В., Попантонопуло В.Н., Шувалов В.П. Телекоммуникационные системы и сети. т.2. Учебное пособие. – Новосибирск. ЦЭРИС, 2000.
2. Ищук А.А., Оболонин И.А. Проектирование радиотехнический устройств в среде «MatchCAD». Учебное пособие. – Новосибирск: СибГУТИ, 2008.


ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Листинг программы расчета АФНЧ Чебышева (построение графика
допустимых значений группового времени запаздывания по таблице 2 приведено в приложении 2)
Fc - частота среза (Гц)
Fb - верхняя частота звукового сигнала (Гц)
Amin - требуемое затухание на частоте среза Fc (дБ)
Amax - допустимая неравномерность в полосе пропускания (дБ)
Допустимая неравномерность группового времени запаздывания сигнала:
f=40 Гц - 55 мс; f=75 Гц - 24 мс; f=14000 Гц - 8 мс; f=15000 Гц - 55 мс.
Примем что Fc=Fd
HA(w) - передаточная функция аналового фильтра
L(w) - рабочее затухание аналового фильтра
τ(w) - групповое время запаздывания сигнала
k0 - константа нормирования
N - порядок фильтра
ε- параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания
γ- параметр

Ω - нормированная частота

Дано:

Решение:

Неравномерность в полосе пропускания определяется по формуле:


Порядок фильтра определяется по формуле:


Округление порядка фильтра в большую сторону производится с помощью функции:



Полюсы функции определяются по формуле:

Передаточная функция аналового фильтра определяется по формуле:


Рисунок П1.1 - АЧХ аналогового ФНЧ Чебышева


Рабочее затухание аналового фильтра определяется по формуле:


(дБ)


Амплитуда, дБ

Рисунок П1.2 - рабочее затухание аналогового ФНЧ Чебышева

ФЧХ фильтра является аргументом комплексной функции передачи:

фаза,
град
Групповое время запаздывания сигнала определяется по формуле:

Рисунок П1.3 - ФЧХ аналогового ФНЧ Чебышева

Групповое
время, мс

Рисунок П1.4 - групповое время запаздывания аналогового ФНЧ Чебышева


ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Листинг расчета АФНЧ Баттерворта ( сокращенный вариант )


Рисунок П2.1-Нормированная АЧХ

Рисунок П2.2
Построение графика допустимых значений группового времени запаздывания по данным таблицы 2 - W(w). Точечный график- .
График строится спомощью кусочно-линейной интерполяции в среде MathCAD.


Рисунок П2.3