Теория вероятностей и математическая статистика. Билет №5

Билет № 5
1) Дискретная случайная величина. Ряд и функция распределения. Биномиальное распределение и распределение Пуассона, их характеристики.
Определение. Случайная величина, принимающая конечное или счетное (т. е. их значения можно перенумеровать) число значений на числовой прямой, называется дискретной.
Определение. Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения случайной величины.
Определение. Если вероятности значений случайной дискретной величины определяются по формуле Бернулли Рn(к)= pkqn-k, то закон распределения такой величины называют биномиальным законом распределения.

Пример1 . Из 200 деталей, в которой 150 деталей первого сорта и 50 – второго, отбирают 5 деталей (по схеме повторного отбора). Составить биномиальный закон распределения случайной дискретной величины Х - числа деталей первого сорта среди отобранных.
Решение. Величина Х принимает шесть возможных значений. Вероятности всех исходов вычислим по формуле Бернулли, где n=5, р= = , q= =
к=0, Р5(0)= ( )0( )5= к=1, Р5(1)= ( )1( )4=
к=2, Р5(2)= ( )2( )3= к=3, Р5(3)= ( )3( )2=
к=4, Р5(4)= ( )4( )1= к=5, Р5(5)= ( )5( )0=
Получили закон распределения вероятностей
Х 0 1 2 3 4 5
Р 


Определение. Если дискретная случайная величина принимает значения 0,1,2,…n,… с вероятностями Рn(к)= е - , где параметр =np, то закон распределения такой величины называют законом Пуассона.
К таким случайным величинам приводят задачи на массовое обслуживание.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности. М (Х)=х1р1+х2р2+…+хnрn+…= xipi
Замечание 1. Математическое ожидание биномиального закона распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: M(X)=np
Замечание 2. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равно М (Х)= .
Пример 3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найти математическое ожидание величины Х - числа разбитых бутылок при перевозке.
Решение. Так как число n=1000 велико, вероятность р=0.003 мала, поэтому имеет место распределение Пуассона. Здесь параметр =np=1000 0.003=3. Итак, используя замечание 3 получаем математическое ожидание М (Х)= 3.
Определение. Дисперсией, или рассеянием, случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания. Обозначают дисперсию через D (Х). D (Х)=М (Х-М (Х))2
Используя свойства математического ожидания, получим более удобную формулу для вычисления дисперсии D (Х)=М (Х2)-М2(Х)
Замечание 1. Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону равна D (Х)=npq
Замечание 2. Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна D(Х)= , т. е. в этом случае дисперсия равна математическому ожиданию.
Пример. При условиях примера 1, найдем дисперсию.
Решение. Здесь n=5, p= , q= . Т. е в этом примере случайная величина Х распределена по биномиальному закону. Тогда, используя замечание 1, дисперсия будет равна D (Х)=npq=5 = =0.9375. Получили такой же результат, как и при вычислении дисперсии в примере 1 непосредственно по формуле (2).
Наиболее часто на практике используют другую числовую характеристику разброса значений случайной величины Х –среднее квадратическое отклонение.
(9)



2) Из урны, где находятся 3 белых и 7 черных шаров вытащены 4 шара. Какова вероятность того, что среди них будет 3 черных шара?
Решение. Используем формулу гипергеометрической вероятности Р= . Здесь . В знаменателе число всевозможных исходов испытания «вытащили 4 шара».
В числителе число благоприятствующих исходов событию А – «среди 4 шаров 3 черных», как произведение двух объектов и .
Итак искомая вероятность
Ответ
3) Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения

Х 1  5 10 15 25
р 0,12 0,32 a 0,25 0,04

Найти величину a, математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение. Используем формулу закона распределения вероятностей Отсюда .
Тогда . Итак .
Найдем математическое ожидание по формуле
математическое ожидание
Найдем дисперсию по формуле . Для этого найдем

Итак, дисперсия .
Найдем среднее квадратическое отклонение по формуле .
Подставив, получим .

Ответ: , , ,


4) Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения

Найти величину с, интегральную функцию распределения,
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение.
Для нахождения параметра с, используем плотности, т. е. .
Тогда . Итак, параметр . Тогда плотность распределения привет вид


Найдем теперь интегральную функцию распределения. Для этого используем формулу F(x)= .
Если , то f(x)=0, тогда F(x)= .
Если , то
F(x)= .
Если , то

Итак, интегральная функция распределения

Найдем математическое ожидание по формуле

Найдем дисперсию по формуле


Найдем среднее квадратическое отклонение по формуле

Комментарии: Уважаемый студент, дистанционного обучения,
Оценена Ваша работа по предмету:Теория вероятностей и математическая статистика
Вид работы: Экзамен
Оценка:Отлично
Дата оценки: 14.12.2015