Контрольная работа по дисциплине: Дискретная математика. Вариант №9

Задача 1.
Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а) (A\C)  (B\C) = (AB) \ C б) (AB)(CD) (AC)(BD).

Задача 2.
Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 AB, P2 B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2P1)–1. Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(b,3),(с,1),(c,4)}; P2 = {(1,3),(1,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1)}.

Задача 3.
Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P R2, P = {(x,y) | x2 = y }.

Задача 4.
Доказать утверждение методом математической индукции:
1•4 + 2•7 + 3•10 + ... + n•(3•n+1) = n•(n+1)2.

Задача 5.
Компания из 9 человек поехала на рыбалку. Для организации ужина и ночлега нужно заготовить дрова, развести костер, приготовить еду, поставить палатки. Для выполнения всех этих дел им необходимо разбиться на группы «костровые», «повара», «строители жилья». Сколько существует различных способов такого разделения, если в любую группу не должно входить менее 2 человек? Сколько существует различных способов разместиться на ночлег по четырем совершенно одинаковым палаткам?

Задача 6.
Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) не делящихся ни на одно из чисел 3, 8, 20? б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

Задача 7.

Найти коэффициенты при a=x6•y2•z2, b=x4•y•z, c=y2•z2 в разложении (x3+5•y+4•z)6.

Задача 8.

Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению an+2 + 5•an+1 + 4•an = 0• и начальным условиям a1=3, a2=9.

Задача 9.

No9 Орграф задан матрицей смежности. Необходимо:  
а) нарисовать граф;  
б) выделить компоненты сильной связности;  
в) заменить все дуги ребрами и в полученном неориентированном графе найти эйлерову цепь (или цикл). 

Задача 10.

Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;  
б) кратчайшее расстояние от вершины v5 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.

Год сдачи 2012. Вариант №9.