Теория оптимального управления - Тест 1 / Тест 2 / Тест 3 / Тест 4 / Итоговый тест / Компетентностный тест . Правильные ответы на тесты Синергия МТИ МосАП.

Теория оптимального управления - Тест 1 / Тест 2 / Тест 3 / Тест 4 / Итоговый тест / Компетентностный тест

Теория оптимального управления
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
• Введение в курс
• Тема 1. Основы моделирования экономических процессов
• Тема 2. Достаточные условия оптимальности
• Тема 3. Метод Лагранжа — Понтрягина
• Тема 4. Метод Гамильтона — Якоби — Беллмана (динамическое программирование)
• Заключение
• Итоговая аттестация

• Итоговый тест
• Компетентностный тест


… задача – задача оптимального управления с линейными дифференциальными уравнениями и линейным функционалом качества
… задача – задача с условиями, заданными на разных концах интервала
… значение – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве
… качества – математическое выражение вида J = ∫f(t,x,u)dt + F(x(T)), характеризующее качество процесса управления
• Задача
• Принцип
• Функционал
… множества – множество всех элементов, для которых существует соответствие в другом множестве
… множество – множество, содержащее ограниченное число элементов, которое можно пересчитать
… на состояние – условия, накладываемые на переменные состояния системы
… область – множество всех возможных значений управляющих параметров
• Допустимая область
• Область достижимости
• Контрольная область
• Оптимальная область
… ограничения – предварительные условия, накладываемые на функции в задачах оптимального управления
… оптимального управления – задача поиска такого управления, при котором функционал качества достигает экстремального значения
• Задача
• Проблема
• Цель
… оптимизации – показатели, по которым определяется наилучшее решение в задаче управления
• Критерии
• Ограничения
• Уравнения состояния
• Управляющие воздействия
• Границы управления
… произведение – множество, включающее всевозможные пары элементов из двух заданных множеств
… произведение – операция над двумя векторами, результатом которой является число
… процесс – процесс управления, рассматриваемый в дискретные моменты времени.
• Непрерывный
• Многошаговый
• Допустимый
… процесс – процесс управления, рассматриваемый как непрерывная функция времени
• Непрерывный
• Многошаговый
• Допустимый
… процесс — процесс управления, рассматриваемый в дискретные моменты времени
• Многошаговый
• Оптимизационный
• Однократный
• Непрерывный
… решение – конкретное решение уравнения или системы уравнений при определённых значениях произвольных постоянных
… решение – конкретное решение уравнения или системы уравнений, полученное из общего решения при определенных значениях произвольных постоянных
… связь – механизм, обеспечивающий корректировку управляющих воздействий на основе выходной информации системы
• Обратная
• Прямая
• Положительная
• Последовательная
… синтезирующая функция – функция, определяющая оптимальное управление в зависимости от состояния системы
… система управления – система, в которой объект управления взаимодействует с управляющей системой через обратную связь
… система – компонент системы управления, отвечающий за выработку управляющих воздействий
… система – система дифференциальных уравнений для вектора ψ(t), связанная с исходной системой управления
… состояния системы – набор переменных, описывающих состояние управляемого объекта в каждый момент времени
… точка – точка, в которой производная функции равна нулю
… точка – точка, в которой производная функции равна нулю, может быть точкой экстремума
… управление – управление, обеспечивающее достижение поставленной цели при заданных ограничениях.
• Эффективное
• Оптимальное
• Стратегическое
… управление – управление, осуществляемое в отдельные моменты времени
… управление – управление, при котором достигается наилучшее значение критерия качества
… управление – управление, при котором функционал качества достигает экстремального значения
… управления – закон управления, не зависящий от текущего состояния системы
• Протокол
• Программа
• Регламент
… управления – процесс построения оптимального управления в виде функции состояния системы
… уравнение – уравнение, связывающее значения функции в разные моменты времени.
• Функциональное
• Трансцендентное
• Дифференциальное
… условие – условие, задаваемое на границе области определения функции в задачах оптимизации
… условия оптимальности – условия, при выполнении которых управляемый процесс гарантированно является оптимальным
… функции – вектор частных производных, указывающий направление наискорейшего возрастания функции
• Оптимизация
• Экстремум
• Градиент
… функции – процесс нахождения наибольшего значения функции на заданном множестве.
• Оптимизация
• Минимизация
• Максимизация
… функция – математическое выражение для оценки качества управления
… функция – функция, график которой лежит не выше любой своей хорды
… член – составляющая функционала, зависящая от конечного состояния системы
• Терминальный
• Интегральный
• Дифференциальный
• Текущий
… – вспомогательная функция в задачах оптимизации
• Штриховая функция
• Индикаторная функция
• Линейная функция
• Функция Лагранжа
… – граничные условия для сопряжённых переменных в конечный момент времени
• Условия трансверсальности
• Краевые условия
• Условия регулярности
• Условия допустимости
… – математическое выражение, экстремальное значение которого определяет оптимальное решение задачи
• Целевая функция
• Функция Ляпунова
• Функция распределения вероятностей
• Функция потерь
… – наибольшая нижняя граница функции на заданном множестве
… – наименьшая верхняя граница функции на заданном множестве
• Инфимум
• Супремум
• Экстремум
… – упорядоченное представление об объекте исследования с определенной целью функционирования
• Система
• Схема
• Алгоритм
… – формализованное представление об объекте исследования с точки зрения поставленной цели
• Уравнение
• Модель
• Схема
… – функция вида H(t,x,ψ,u) = ψf(t,x,u), используемая для формулировки условий оптимальности
…процесс – процесс, удовлетворяющий всем ограничениям системы управления
• Непрерывный
• Многошаговый
• Допустимый


Априорные ограничения – это …
• требования устойчивости динамической системы
• предположения о форме закона распределения случайных величин
• оценки точности вычисления целевых функций
• предварительные условия, накладываемые на функции в задачах оптимального управления
В модели управления запасами компания стремится минимизировать совокупные издержки хранения и дефицита в непрерывном времени. Динамика запасов описывается дифференциальным уравнением. Как следует корректно использовать метод Гамильтона — Якоби — Беллмана для нахождения оптимального управления?
• Следует записать дифференциальное уравнение для функции ценности, включающее производную по времени и оператор максимума, затем определить оптимальное управление из условия экстремума выражения в правой части уравнения и решить полученную задачу с учетом граничных условий.
• Необходимо продифференцировать функцию издержек по уровню запасов и принять точку нулевой производной как оптимальное решение без анализа динамики системы и межвременной структуры задачи.
• Достаточно провести имитационное моделирование нескольких вариантов политики управления запасами и выбрать стратегию с наименьшими затратами без формализации уравнения ценности.
В модели экономического роста требуется определить оптимальную траекторию накопления капитала при свободном конечном состоянии. После записи системы уравнений состояния и сопряженного уравнения возникает необходимость учета граничных условий. Какой следует применить подход, соответствующий методу Лагранжа — Понтрягина?
• Следует дополнительно использовать условие трансверсальности, отражающее особенности свободного конечного состояния, и решить систему уравнений как краевую задачу с учетом начальных и конечных условий.
• Достаточно решить уравнение состояния и принять произвольное конечное значение капитала, поскольку условие на конечный момент времени не влияет на оптимальность управления.
• Необходимо минимизировать функцию Гамильтона по времени без учета граничных условий и принять первое найденное решение как оптимальную траекторию развития системы.
Вектор … – набор управляющих воздействий, влияющих на поведение системы
Задача … – задача нахождения решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями
• Файоля
• Тейлора
• Коши
Инвестиционная компания формирует стратегию распределения капитала по годам в течение пятилетнего периода. Доходность вложений зависит от текущего состояния портфеля и выбранной доли инвестирования. Необходимо определить оптимальную стратегию с учетом межвременных зависимостей. Какой метод должен использоваться для решения данной задачи межвременной оптимизации с применением уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана?
• Тре буется ввести функцию ценности, отражающую максимальную суммарную доходность из данного состояния, сформулировать уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана и определить оптимальное управление из условия максимизации правой части этого уравнения с учетом динамики портфеля.
• Следует определить оптимальное распределение капитала только на первый год, исходя из максимизации текущей доходности, а дальнейшую стратегию корректировать ежегодно без построения единой межвременной модели.
• Достаточно сравнить несколько заранее заданных инвестиционных стратегий по суммарной прибыли за период и выбрать вариант с наибольшим итоговым значением без использования рекуррентных соотношений.
Компания анализирует инвестиционный проект, описываемый выпуклой функцией издержек. Найдена стационарная точка. Необходимо определить, является ли она глобальным минимумом на всей допустимой области.
• Какие можно определить, является ли она глобальным минимумом на всей допустимой области.
• Если функция является строго выпуклой на всей области определения, то любая стационарная точка автоматически является единственным глобальным минимумом, независимо от начального приближения и метода поиска решения.
• Достаточно проверить, что производная функции обращается в нуль в найденной точке, поскольку выполнение необходимого условия стационарности уже гарантирует достижение глобального экстремума.
• Следует сравнить значение функции в найденной точке с несколькими альтернативными точками, расположенными вблизи границ допустимой области, без анализа свойств выпуклости функции на всей области определения.
Компания реализует долгосрочный инвестиционный проект, включающий несколько этапов финансирования и получения доходов во времени. Необходимо определить оптимальное распределение ресурсов по периодам с учетом дисконтирования будущих потоков. Какой метод анализа следует применить, который позволит наиболее точно учесть временную структуру поступлений и расходов, фактор дисконтирования и принять обоснованное решение по распределению ресурсов?
• Применить статическую модель, в которой суммарные доходы и расходы агрегируются за весь период без учета временной структуры потоков и фактора дисконтирования.
• Использовать динамическую модель, учитывающую временную последовательность решений, функцию дисконтирования и взаимосвязь текущих и будущих состояний проекта, с формализацией задачи в виде межвременной оптимизации.
• Провести сравнительный анализ альтернативных проектов по объему первоначальных инвестиций, не учитывая распределение доходов по периодам и влияние временного фактора на стоимость капитала.
Множество … управлений – область U⊂R, определяющая возможные значения управляющих воздействий
• оптимальных
• допустимых
• системных
Предприятие минимизирует издержки производства по функции двух переменных. В стационарной точке первые производные равны нулю. Руководству необходимо определить, является ли найденная точка строгим локальным минимумом. Какое условие следует проверить?
• Достаточно убедиться, что первые производные функции равны нулю и значение функции в рассматриваемой точке меньше, чем в нескольких произвольно выбранных соседних точках, без анализа вторых производных и структуры кривизны функции.
• Необходимо вычислить матрицу вторых производных (матрицу Гессе) в стационарной точке и проверить ее положительную определенность. Если квадратичная форма второго дифференциала строго положительна, точка является строгим локальным минимумом.
• Следует проверить, что хотя бы одна из вторых производных положительна, а значение функции не возрастает вдоль одного из направлений изменения аргументов, без анализа знакоопределенности всей матрицы вторых производных.
Предприятие минимизирует суммарные издержки эксплуатации оборудования при условии, что уровень износа изменяется во времени по заданному закону. После построения функции Гамильтона требуется определить оптимальное управление. Какое условие должно быть использовано в данном случае?
• Необходимо использовать условие максимума (или минимума) по управляющему воздействию, то есть выбрать такое значение управления, при котором функция Гамильтона достигает экстремума при фиксированных значениях состояния и сопряженной переменной.
• Следует определить экстремум только по переменной состояния, не учитывая влияние сопряженной переменной и не проверяя выполнение условия максимума для функции Гамильтона.
• Достаточно проверить выполнение начального условия для переменной состояния и считать, что оптимальное управление определяется автоматически из исходной динамики системы без дополнительной оптимизации.
Предприятие планирует определить оптимальный объем выпуска продукции при ограниченных ресурсах (сырье, труд, оборудование). Цель – максимизация прибыли при заданных ограничениях. Какой можно предложить подход к моделированию, который будет наиболее оптимальным и продуктивным для предприятия?
• Использовать описательную модель, основанную на анализе динамики прошлых показателей прибыли и объёмов производства без формализации ограничений. Решение принимается на основе экстраполяции трендов и экспертных оценок руководства без строгого математического аппарата.
• Построить оптимизационную экономико-математическую модель с формированием целевой функции прибыли и системы ограничений по ресурсам. Определить переменные решения, записать ограничения в виде уравнений и неравенств и найти оптимальное решение методами линейного или нелинейного программирования.
• Применить качественный сравнительный анализ, сопоставив деятельность предприятия с аналогичными фирмами отрасли, и выбрать среднее значение объёма выпуска без расчёта формализованной модели и учёта внутренних ресурсных ограничений.
Принцип максимума Понтрягина – это …
• достаточное условие устойчивости динамической системы
• метод решения дифференциальных уравнений первого порядка
• необходимое условие существования стационарных точек функции
• необходимое условие оптимальности управляемого процесса
Принцип максимума … – необходимое условие оптимальности управляемого процесса
• Понтрягина
• Тейлора
• Файоля
Производственная фирма планирует выпуск продукции по этапам, причем объем выпуска на каждом шаге влияет на будущие производственные возможности. Требуется построить модель, обеспечивающую оптимальное решение на всем горизонте планирования. Как можно корректно реализовать принцип оптимальности Беллмана?
• Необходимо сформулировать рекуррентное соотношение для функции ценности, начиная с конечного этапа, и последовательно определить оптимальные решения для каждого предыдущего шага, обеспечивая согласованность стратегии на всех подинтервалах.
• Следует определить оптимальный выпуск продукции на среднем этапе планирования и распространить найденное решение на все остальные периоды без анализа динамической взаимосвязи состояний.
• Достаточно вычислить суммарную прибыль за весь период при постоянном объеме выпуска и выбрать наиболее выгодный вариант без учета влияния текущих решений на будущие состояния системы.
Расположите в правильной последовательности этапы проверки достаточных условий оптимальности в задаче с равенствами (метод множителей Лагранжа):
1. построение функции Лагранжа
2. нахождение стационарной точки из системы первых производных
3. формирование касательного пространства ограничений
4. проверка положительной определенности второго дифференциала Лагранжиана на допустимых вариациях
5. формулирование вывода о наличии условного экстремума
Расположите виды анализа чувствительности модели по мере усложнения процедуры их проведения:
1. детерминированный расчет базового варианта без изменения параметров
2. изменение одного параметра при прочих равных условиях
3. сценарный анализ с одновременным изменением нескольких параметров
4. стохастическое моделирование с учетом распределений вероятностей
Расположите действия при анализе полученного решения задачи оптимального управления от математической модели к экономической интерпретации:
1. проверка выполнения условия максимума
2. определение оптимальной траектории состояния
3. проверка граничных условий
4. анализ поведения сопряжённой переменной
5. интерпретация экономического смысла оптимального управления
Расположите действия при проверке достаточного условия строгого локального минимума функции нескольких переменных без ограничений в правильной последовательности:
1. проверка выполнения необходимых условий стационарности
2. вычисление вторых частных производных
3. формирование матрицы Гессе
4. проверка положительной определенности матрицы
5. формулирование вывода о характере стационарной точки
Расположите компоненты уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана в порядке их включения в модель:
1. условие на конечный момент времени
2. текущая функция выигрыша
3. динамика состояния системы
4. производная функции ценности
5. оператор максимума
Расположите утверждения по степени усиления условий оптимальности (от более общего к более строгому):
1. выполнение необходимых условий стационарности
2. положительная полуопределенность матрицы Гессе
3. положительная определенность матрицы Гессе
4. строгая выпуклость функции на всей допустимой области
Расположите элементы дискретной задачи динамического программирования по порядку их применения:
1. определение функции выигрыша на последнем шаге
2. запись рекуррентного соотношения Беллмана
3. последовательный расчет функции ценности от конца к началу
4. выбор оптимального управления на каждом шаге
5. формирование итоговой оптимальной стратегии
Расположите элементы оптимизационной модели в порядке их формирования при разработке задачи линейного программирования:
1. определение переменных решения
2. формулирование целевой функции
3. формирование системы ограничений
4. экономическая интерпретация решения
Расположите элементы системы необходимых условий оптимальности согласно правильной последовательности, соответствующей принципу максимума Понтрягина:
1. функция Гамильтона
2. уравнение состояния
3. сопряженное уравнение
4. условие максимума
5. условие трансверсальности
Расположите этапы построения экономико-математической модели в правильной последовательности:
1. постановка цели и определение проблемы
2. сбор и анализ исходных данных
3. формализация экономических зависимостей
4. проверка адекватности модели
5. интерпретация и использование результатов
Расположите этапы применения принципа максимума Понтрягина при решении задачи оптимального управления в правильной последовательности:
1. построение функции Гамильтона
2. запись уравнений состояния и сопряженных уравнений
3. формулирование условия максимума по управлению
4. подстановка оптимального управления в систему
5. решение полученной краевой задачи
Расположите этапы решения задачи оптимального управления методом Гамильтона — Якоби — Беллмана в правильной последовательности:
1. постановка динамической задачи и задание граничных условий
2. определение функции ценности
3. формулирование уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана
4. Нахождение оптимального управления из условия максимума
5. экономическая интерпретация полученного решения
Региональные органы управления хотят оценить влияние изменения налоговой ставки на объем инвестиций в промышленность. Требуется учесть взаимосвязь между доходами предприятий, уровнем налогообложения и инвестиционной активностью. Какой тип модели будет целесообразно использовать?
• Разработать балансовую модель межотраслевого взаимодействия, отражающую потоки продукции между секторами экономики, без включения поведенческих зависимостей инвестиционного спроса от налоговой нагрузки.
• Построить эконометрическую модель, включающую зависимую переменную (инвестиции) и объясняющие переменные (налоговая ставка, прибыль, процентная ставка), оценив параметры на основе статистических данных и проверив значимость коэффициентов.
• Ограничиться экспертным опросом руководителей предприятий о предполагаемой реакции на изменение налоговой ставки и использовать среднее мнение как прогноз без количественной оценки параметров модели.
Соотнесите вид экономико-математической модели и его возможности:
A. Балансовая модель
B. Оптимизационная модель
C. Имитационная модель
D. описывает взаимосвязи между ресурсами и их использованием в системе уравнений равновесия
E. позволяет выбрать наилучший вариант решения при наличии целевой функции и ограничений
F. воспроизводит функционирование системы во времени с учетом случайных факторов
Соотнесите компонент уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана с его ролью в модели:
A. Текущая функция выигрыша f(x,u)f(x,u)f(x,u)
B. Производная функции ценности ∇V(x)∖nabla V(x)∇V(x)
C. Оператор максимума
D. отражает мгновенный экономический эффект управления
E. учитывает влияние текущего состояния на будущую ценность
F. обеспечивает выбор наилучшего управляющего воздействия
Соотнесите этап решения задачи оптимального управления методом Лагранжа — Понтрягина с его содержанием:
A. Построение функции Гамильтона
B. Запись системы необходимых условий оптимальности
C. Решение краевой задачи
D. объединение критерия и динамических ограничений с помощью множителей
E. формирование уравнений состояния, сопряжённых уравнений и условия максимума
F. определение траекторий состояния и управления с учётом граничных условий
Сопоставьте тип задачи в динамическом программировании и пример его применения:
A. Дискретная задача с конечным числом шагов
B. Непрерывная задача с фиксированным горизонтом
C. Бесконечногоризонтная задача
D. оптимальное распределение ресурсов по этапам производства
E. оптимизация инвестиционного проекта на заданный срок
F. модель экономического роста с бесконечным горизонтом планирования
Сопоставьте тип условия в методе Лагранжа–Понтрягина и его экономическую интерпретацию:
A. Уравнение состояния
B. Сопряженное уравнение
C. Условие трансверсальности
D. динамика управляемого показателя
E. динамика предельной ценности ресурса
F. ограничение на конечное состояние или свободный горизонт планирования
Сопоставьте типы задач оптимизации с достаточными условиями оптимальности, обеспечивающими гарантированное достижение оптимального решения:
A. Задача без ограничений
B. Задача с равенствами (условная оптимизация)
C. Задача с неравенствами
D. положительная (отрицательная) определенность матрицы вторых производных
E. положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы Лагранжиана на касательном пространстве
F. выполнение условий Куна–Таккера и положительная определенность матрицы Лагранжа по допустимым направлениям
Сопоставьте элемент задачи оптимального управления с его характеристикой:
A. Функция Гамильтона
B. Сопряженная переменная
C. Условие максимума
D. вспомогательная функция, объединяющая динамику системы и критерий оптимальности
E. переменная, описывающая «теневую цену» состояния системы
F. требование экстремальности по управляющему воздействию
Сопоставьте элемент метода динамического программирования и его экономический смысл:
A. Функция ценности
B. Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
C. Принцип оптимальности Беллмана
D. максимальная суммарная выгода от текущего состояния
E. условие, определяющее динамику оптимального решения
F. требование согласованности решений во времени
Сопоставьте элемент теории оптимальности и его содержание:
A. Второй дифференциал функции
B. Матрица Гессе
C. Условия Куна–Таккера
D. квадратичная форма, характеризующая кривизну функции в окрестности стационарной точки
E. совокупность вторых частных производных функции
F. система условий стационарности и комплементарной нежесткости
Сопоставьте этап моделирования экономического процесса с его содержанием:
A. Постановка задачи
B. Формализация
C. Интерпретация результатов
D. определение целей исследования и ограничений системы
E. перевод экономических зависимостей в систему математических выражений
F. экономический анализ полученных количественных показателей

Сопоставьте свойства целевой функции с соответствующим ей типом экстремума, для установки связи между геометрическими свойствами функции и характером ее экстремальных точек:
• A. Строгая выпуклость
• B. Строгая вогнутость
• C. Квазиивыпуклость
• D. единственный глобальный минимум
• E. единственный глобальный максимум
• F. возможность глобального минимума при выполнении дополнительных условий

Терминальный член – это составляющая функционала, зависящая от …
• параметра времени в промежуточных точках траектории
• начальных условий запуска системы
• конечного состояния системы
• мгновенного значения управляющего воздействия в каждый момент времени
Точка … первого рода – точка, в которой функция имеет конечные левый и правый пределы, но они не равны между собой
Уравнения вида x = f(t,x,u), описывающие динамику системы, – это …
• дифференциальные уравнения процесса
• алгебраические уравнения
• интегральные уравнения
• уравнения баланса
Установите соответствие типа переменной в экономической модели и ее характеристики:
A. Экзогенная переменная
B. Эндогенная переменная
C. Параметр модели
D. задается извне и не определяется в рамках модели
E. рассчитывается в результате решения модели
F. характеризует устойчивые условия функционирования системы
Фирма решает задачу максимизации прибыли при условии ограниченности производственных мощностей, заданных уравнением-ограничением. Найдена стационарная точка с использованием метода множителей Лагранжа. Как можно проверить достаточное условие условного экстремума?
• Достаточно убедиться, что найденные значения переменных удовлетворяют исходному ограничению и обеспечивают большее значение прибыли по сравнению с одним альтернативным вариантом распределения ресурсов.
• Требуется исследовать второй дифференциал функции Лагранжа на множестве допустимых вариаций, то есть на касательном пространстве ограничений. Положительная (или отрицательная) определенность квадратичной формы подтверждает наличие условного минимума (или максимума).
• Следует проверить знак множителя Лагранжа и сравнить его с коэффициентами целевой функции, не анализируя вторые производные и структуру допустимых направлений изменения переменных.
Фирма решает задачу оптимального распределения инвестиций во времени. Динамика капитала описывается дифференциальным уравнением, а цель – максимизация дисконтированной прибыли за заданный период. Как корректно применить метод Лагранжа — Понтрягина для вывода необходимых условий оптимальности?
• Необходимо построить функцию Гамильтона, включив в нее текущую прибыль и динамическое ограничение с помощью сопряженной переменной. Затем записать уравнение состояния, сопряженное уравнение и условие максимума по управлению, после чего решить полученную краевую задачу с учетом граничных условий.
• Следует продифференцировать целевую функцию по управляющему параметру, приравнять производную к нулю и найти экстремум без учета динамического ограничения, предполагая, что состояние системы автоматически адаптируется к выбранному управлению.
• Достаточно подставить различные значения управления в исходное дифференциальное уравнение, сравнить полученные значения прибыли и выбрать вариант с наибольшим итоговым результатом без построения сопряженной системы.