Эрлангенская программа: прежде и теперь

Переворот в геометрической науке, произведенный Феликсом Кляйном в конце 19 века, часто и справедливо сравнивают с реформой Евклида в античной геометрии. До Евклида был хаос (то есть, "газ") из разрозненных объектов и фактов древней науки. После него возник "кристалл" из тех же атомов (теорем, аксиом и определений), объединенных новыми логическими связями. Аналогично, до Кляйна была россыпь непохожих друг на друга кристаллов, синтезированных в разное время Евклидом, Гауссом, Лобачевским или Риманом. После Кляйна эта россыпь превратилась в упорядоченную коллекцию, где каждый экспонат задан своей группой допустимых преобразований интересующих нас фигур.
20 век колоссально расширил эту коллекцию, введя в арсенал математиков бесконечное семейство новых групп и соответствующих им геометрий. Чтобы не утонуть в новом хаосе " "газе" из групп и однородных пространств, математикам пришлось упорядочить разные способы сравнения групп между собою. Так в 1900-е годы в трудах Исайя Шура возникла теория представлений групп; вскоре она стала важнейшей опорой теоретической физики и новых геометрий (бесконечномерных, или неархимедовых), которые Кляйн не мог вообразить в 1872 году.
Двойной опыт Евклида и Кляйна в перестройке и упрощении высокоразвитой науки заслуживает рассмотрения с позиций обновленной физики. Если в обоих случаях мы имеем дело с фазовым переходом в структуре научной теории, то какова энергетика этого перехода" Можно ли описать его на языке Кляйна-Шура, сопоставив каждой геометрической теории некую группу допустимых преобразований каких-то фундаментальных объектов" Эти проблемы мы намерены обсудить.