Контрольная работа по предмету «Оптимизация и математические методы принятия решений» Вариант № 63.

3.  Приведите следующие задачи к каждой из канонических форм
3.1
ax-by→max,
x+y=c,
2x ≤ d
x и y-неотрицательные,
a,b,c,d ∈R
3.2
x_1+ x_2→max,
x_1≥0
x1 – x2 ≤ 1
x_2≤0

3.3
x_1+ x_2-x_3→max,
x_1≥0
x_2+ x_3=0
x_1+ x_3≥4
Раздел 1.2
1. Докажите лемму 1, следствие из нее и признак оптимальности в краткой форме.
Лемма 1. При любых и выполняется неравенство
2.  Постройте двойственные задачи к задачам из упражнения No3 раздела 1.1, сформулируйте для них условия признака оптимальности. Достаточно ли этих условий, чтобы найти решения задач?
Раздел 1.3
1.  Сформулируйте алгоритм одного шага метода последовательного улучшения, для задачи, двойственной к задаче в канонической форме.
Раздел 1.4
1.  Для следующих задач линейного программирования запишите двойственные к ним и найдите оптимальные решения.
x_1-3x_2-5x_3-x_4→max
x_1+4x_2+4x_3+x_4=5
x_1+7x_2+8x_3+2x_4=9
x≥0
2.  Для следующих задач линейного программирования найдите оптимальные решения в зависимости от указанных параметров (величины некоторых ограничений) и проведите исследование изменения оптимального решения и оптимального значения целевой функции при изменении параметра
〖4x〗_1+6x_2-3x_3→max
-3x_1-x_2+x_3≥b_1
〖-2x〗_1-4x_2+x_3≥5
〖-2x〗_1+2x_2+x_3≤1
〖-x〗_1-x_2+x_3≥3
〖2x〗_1+x_3≤2
x – свободные
3. Для следующих содержательных постановок постройте математическую модель в виде задачи линейного программирования, приведите ее к какой-либо известной вам канонической форме, сформулируйте двойственную задачу и условия признака оптимальности, найдите решения пары двойственных задач, проинтерпретируйте двойственные оценки.
Для серийного производства некоторого изделия требуются комплекты заготовок профильного проката. Каждый комплект состоит из двух заготовок длиной 1800 мм и пяти заготовок длиной 700 мм. Как следует раскроить 770 полос проката стандартной длины 6000 мм, чтобы получить наибольшее количество указанных комплектов?
Раздел 1.5
1. Решите следующие задачи выпуклого программирования. Дайте интерпретацию двойственным переменным и проинтерпретируйте выполнение условий дополняющей нежесткости. Как изменится оптимальное решение при изменении правых частей ограничений?

√(x_1 x_2 )→max
x_1 〖+x〗_2≤14
Раздел 2.1
2.1. Для данных множеств исходов и описанных предпочтений выясните, являются ли предпочтения рациональными и можно ли их представить функцией полезности?
2.2. В предыдущем упражнении найдите результат выбора, если он существует.
1. Решение о покупке автомобиля. Рассмотрим простую ситуацию: человек, располагающий запасом денег W решает, приобрести ли автомобиль по цене p, его полезность измеряется в деньгах и денежная оценка факта наличия у него автомобиля для человека составляет (итого при покупке автомобиля его выигрыш составит , а в отсутствие автомобиля просто измеряется размером богатства W). Представьте ситуацию в виде дерева решений. Найдите граничное значение цены автомобиля, при котором человеку безразлично — покупать автомобиль или нет.
2. В предыдущей задаче рассмотрите ситуацию, когда человек имеет возможность выбора из двух (или более) альтернативных моделей автомобилей (для простоты положим, что покупает он не более одного), которые отличаются ценами. Как изменится ситуация выбора? От чего зависит, будет ли выбран более дорогой или более дешевый автомобиль, если вообще покупка свершится?
3. Задача выбора количества потребляемых товаров при бюджетном ограничении. Потребитель распределяет весь свой доход между потреблением некоторого обычного товара в количестве , покупая его по цене p руб. за единицу, и потреблением всех остальных товаров, рассматривая его, как денежный остаток, который он не тратит на первый товар, — . Полезность потребителя задана функцией , а множество доступных альтернатив задано бюджетным множеством в виде , где R — весь доход потребителя. Найдите оптимальный выбор потребителя в зависимости от параметров: . Являются ли предпочтения потребителя рациональными (поясните)? Каков содержательный смысл двойственной оценки бюджетного ограничения в такой задаче?
Раздел 2.3.
1. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана—Моргенштерна, а элементарная функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег). Лотерея $3 и $5 с вероятностями 1/2 и 1/2 и лотерея $3 и $9 с вероятностями 2/3 и 1/3 для него эквивалентны. Может ли быть верным, что этот индивид а) рискофоб; б) нейтрален к риску; в) рискофил?
2. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана—Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства хвида u(х), причем u имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может потерять в случае аварии судна $10 000.
(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.

(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.

(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или меньше, чем $10 000? Объясните.
Раздел 2.4
2.8. Игра «Вахтер». На входе в некоторое учреждение стоит вахтер. В учреждение могут войти посетители двух типов: «свои» и «чужие» (будем их для краткости обозначать A и B). Некоторые посетители кажутся вахтеру своими, а некоторые — чужими (фактически, в игре есть 2 типа вахтера — обозначим их соответственно a и b). Вахтер точно не знает, «свой» перед ним или «чужой» и может только проверить у посетителя наличие пропуска. При этом если посетитель окажется своим, то выигрыш вахтера составит –1, а если чужим, то 1. Если вахтер пропускает человека без проверки, то ему уже все равно, свой тот или нет, и выигрыш вахтера составляет 0.

Опишите игру в виде дерева решений «единого вахтера», который не обращает внимания на то, что ему кажется и в виде дерева, в котором учтены подозрения вахтера (a и b). Как вахтеру использовать свои подозрения при принятии решения проверять или не проверять документы?