Контрольная работа по математике. 2-й семестр

Задача No 1: Даны функция z=z(x,y), точка A(x0;y0) и вектор a(ax;ay). Найти: 1) grad z в точке А. 2) производную в точке А по направлению вектора a.


Решение.
1) Сначала найдем частные производные первого порядка:
Задача No 2: Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0).


Решение:
Найдеи уровнение кривой в полярных координатах, полагая что: , , : получим:
Задача No 3: Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями.
, , , .
Решение:
Вычислим объем тела ограниченного снизу плоскостью , сверху плоскостью заданной кривой , справа плоскостью заданной прямой (из чего следует, что ) и слева плоскостью с помощъю тройного интеграла:
Задача No 4: Даны векторное поле F=Xi+Yj+Zk, l — контур, ограничивающий s;и плоскость (p) Ax+By+Cz+D=0, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть s — основание пирамиды, принадлежащее плоскости (P); n — нормаль к s, направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить:
1) поток векторного поля F через поверхность s в направлении нормали n;
2) циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру l непосредственно и применив теорему Стокса к контуру l и ограниченной им поверхности s с нормалью n;
3) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

Зачет