Контрольная работа по Дискретной математике. Теория графов. Вариант №6

Задание:
1. Дать словесное описание графа с обоснованием каждого положения (орграф, неорграф, полный, неполный, простой, плоский, планарный, дерево, лес, связен, сильно связен, не связен, бихроматический, псевдограф, мультиграф, двудольный, смешанный).
2. Задать граф перечислением вершин (узлов) и ребер (дуг), матрицей инциденций, матрицей смежности.
3.  Определить следующие основные характеристики графа: число ребер (дуг), число вершин, коэффициент связности графа, степени всех вершин графа (с определением максимального значения и проверкой правильности по лемме о рукопожатиях), цикломатическое число графа (по рисунку, а также по формуле), число компонент связности, эксцентриситет, диаметр, радиус. Полученные характеристики графа необходимы для дальнейшего исследования и преобразования исходного графа.
4. Произвести вершинную раскраску графа с определением вершинного хроматического числа. Провести оценку сверху по неравенству. Провести оценку снизу по неравенству, анализ на бихроматичность (по критериям двудольности и поиску в ширину).
5. Произвести реберную раскраску графа с определением реберного хроматического индекса по графу и оценкам сверху и снизу по неравенствам.
6. Определить, является ли данный граф эйлеровым? Обосновать ответ. Указать, есть ли эйлеров цикл (применить алгоритм Флери для его определения), цепь.
При получении отрицательного ответа на данный вопрос необходимо, применяя минимальное количество известных операций на графах, преобразовать данный граф до эйлерова.
7. Определить, является ли данный граф гамильтоновым? Обосновать ответ. Указать, есть ли гамильтонов цикл, цепь.
При получении отрицательного ответа на данный вопрос необходимо, применяя минимальное количество известных операций на графах, преобразовать данный граф до гамильтонова.
8. Провести топологическую декомпозицию графа. Определить сильносвязные подграфы и представить их в виде входных, транзитных и выходных блоков.
9. С помощью алгоритма выделения минимального остовного дерева получить остов.
10. С помощью метода Магу определить вершинную независимость (внутреннюю устойчивость: максимальную, минимальную) и доминирование (внешнюю устойчивость: максимальную, минимальную). Определить ядро, клику, центр графа.