Лекции по матанализу

Содержание.
Введение.
Основные числовые множества.
Окрестности.
Модуль и основные неравенства.
Функция. Монотонность. Ограниченность.
Функции.
Ограниченные последовательности.
Монотонные последовательности.
Пределы последовательности.
Последовательности.
Бесконечно малые последовательности.
Свойства бесконечно малой последовательности.
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.
Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
Теоремы о пределах числовых последовательностей.
Теорема о пределе суммы.
Теорема о произведение пределов.
Теорема о пределе частного.
Бесконечно большие последовательности.
Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности).
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
Основные теоремы о существование предела последовательности.
Бесконечно большие последовательности.
Определение под последовательности.
Предел функции.
Замечательные пределы.
Первый замечательные пределы.
Определение бесконечного предела и пределов при х+.
Односторонние пределы.
Второй замечательный предел.
Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.
Шкала бесконечности.
Степенные бесконечности.
Показательные бесконечности.
Основные эквивалентности.
Асимптотические формулы.
Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки).
Теорема:(о непрерывности сложной функции).
Непрерывность некоторых функций.
Точки разрыва».
Классификация точек разрыва функции.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции).
Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции).
Теоремы Вейштрасса.
Теорема: (Коши о промежуточных значениях).
Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства».
Производная функции.
Разность значений функций.
Физический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
Основные теоремы о производной.
Теорема: (о произведение частного).
Таблица производных.
Производные, дифференциал.
Дифференциал функции.
Гиперболические функции.
Линеаризация.
Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.
Линеаризация функции.
Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.
Погрешности вычисления.
Изучение поведения функции при помощи первой производной.
Экстремумы функции.
Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции).
Экстремумы.
Теорема (Ролля).
Геометрический смысл.
Теорема Лангранджа.
Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной).
Производная функции высшего порядка.
Производная функции высшего порядка.
Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа).
Правила Лопиталя.
Формулы Тейлора.
Свойства многочлена Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным членом пеано.
Пять основных разложений.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.
Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.
Выпуклость и вогнутость.
Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).
Асимптоты.
Полное исследование функции.
Приближенные методы решения уравнения f(x)=.
Оценка скорости сходимости.
Метод касательных (метод Ньютона).
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn.
Циклоида.
Параметрическая производная.