Решение частичной и полной проблемы собственных значений

Лабораторная работа No 3
по численным методам
по теме «Решение полной и частичной проблемы собственных значений»
I. Постановка задачи с. 3
II. Краткое изложение методов решения с. 4
III. Текст программы с. 8
IV. Результаты выполнения программы с. 22
V. Анализ результатов с. 23
  АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Представленные методы решения проблемы собственных значений весьма различны, поскольку в то время как два метода – методы Леверье-Фаддеева и вращений – решают полную проблему собственных значений, степенной метод решает только лишь частичную проблему собственных значений. Также следует заметить, что методы Леверье-Фаддеева и степенной метод применимы для любой матрицы, а метод вращений не является универсальным.
 Метод Леверье-Фаддеева
Производимые в методе вычисления позволяют находить собственные значения матрицы, соответствующие им собственные векторы, детерминант матрицы и, если он отличен от нуля, обратную матрицу; в противном случае, то есть если матрица вырождена, мы находим присоединённую (союзную) к ней матрицу.
 Метод вращений (Якоби)
Этот метод находит собственные значения и собственные векторы. Без машинных округлений при вычислениях этот метод был бы прямым.
 Степенной метод
В общем случае степенной метод находит максимальное по модулю собственное значение (возможно, кратное или, возможно, не одно значение, а пару комплексно сопряжённых или противоположных по знаку собственных значений) и соответствующий ему собственный вектор (либо соответствующие ему собственные векторы). Однако мы находимся в случае, когда собственное значение λ_1 строго больше по модулю остальных собственных значений: |λ_1 |>〖|λ〗_2 |≥|λ_3 |≥⋯≥|λ_N |. В таком случае степенной метод позволяет найти это собственное значение λ_1 и собственный вектор x_1, отвечающий нему.
Итак, по своим возможностям наиболее полезным является метод Леверье-Фаддеева, применимый для любой матрицы и предоставляющий помимо собственных векторов и собственных значений дополнительную информацию о матрице – её определитель и обратную либо союзную матрицу. Меньше всего информации предоставляет степенной метод, находящий только лишь максимальное по модулю собственное значение и отвечающий ему собственный вектор. Однако он же является и самым простым, поэтому в случае, когда задача состоит именно в решении частичной проблемы собственных значений, он оправдывает себя перед более сложными методами Леверье-Фаддеева и Якоби.