Теория оптимального управления / Темы 1-4 / Самый полный сборник из правильных ответов на отлично! 100/100

Теория оптимального управления
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Текущие
Введение в курс
Тема 1. Основы моделирования экономических процессов
Тема 2. Достаточные условия оптимальности
Тема 3. Метод Лагранжа — Понтрягина
Тема 4. Метод Гамильтона — Якоби — Беллмана (динамическое программирование)
Заключение
Итоговая аттестация

... система управления - система, в которой объект управления взаимодействует с управляющей системой через обратную связь

... произведение - множество, включающее всевозможные пары элементов из двух заданных множеств

... связь — механизм, обеспечивающий корректировку управляющих воздействий на основе выходной информации системы
Обратная
Прямая
Положительная
Последовательная

... оптимизации - показатели, по которым определяется наилучшее решение в задаче управления
Критерии
Ограничения
Уравнения состояния
Управляющие воздействия
Границы управления

... множество - множество, содержащее ограниченное число элементов, которое можно пересчитать

... функции - процесс нахождения наибольшего значения функции на заданном множестве.
Оптимизация
Минимизация
Максимизация

... - формализованное представление об объекте исследования с точки зрения поставленной цели
Уравнение
Модель
Схема

Предприятие планирует определить оптимальный объем выпуска продукции при ограниченных ресурсах (сырье, труд, оборудование). Цель - максимизация прибыли при заданных ограничениях.
Какой можно предложить подход к моделированию, который будет наиболее оптимальным и продуктивным для предприятия?
Использовать описательную модель, основанную на анализе динамики прошлых показателей прибыли и объёмов производства без формализации ограничений. Решение принимается на основе экстраполяции трендов и экспертных оценок руководства без строгого математического аппарата.
Построить оптимизационную экономико-математическую модель с формированием целевой функции прибыли и системы ограничений по ресурсам. Определить переменные решения, записать ограничения в виде уравнений и неравенств и найти оптимальное решение методами линейного или нелинейного программирования.
Применить качественный сравнительный анализ, сопоставив деятельность предприятия с аналогичными фирмами отрасли, и выбрать среднее значение объёма выпуска без расчёта формализованной модели и учёта внутренних ресурсных ограничений.

Расположите этапы построения экономико-математической модели в правильной последовательности:
1 постановка цели и определение проблемы
2 сбор и анализ исходных данных
3 формализация экономических зависимостей
4 проверка адекватности модели
5 интерпретация и использование результатов

Установите соответствие типа переменной в экономической модели и ее характеристики:
A. Экзогенная переменная
В. Эндогенная переменная
С. Параметр модели
D. задается извне и не определяется в рамках модели
Е. рассчитывается в результате решения модели
F. характеризует устойчивые условия функционирования системы

...процесс - процесс, удовлетворяющий всем ограничениям системы управления
Непрерывный
Многошаговый
Допустимый

... управление - управление, при котором достигается наилучшее значение критерия качества

Предприятие минимизирует издержки производства по функции двух переменных. В стационарной точке первые производные равны нулю. Руководству необходимо определить, является ли найденная точка строгим локальным минимумом.
Какое условие следует проверить?
Достаточно убедиться, что первые производные функции равны нулю и значение функции в рассматриваемой точке меньше, чем в нескольких произвольно выбранных соседних точках, без анализа вторых производных и структуры кривизны функции.
Необходимо вычислить матрицу вторых производных (матрицу Гессе) в стационарной точке и проверить ее положительную определенность. Если квадратичная форма второго дифференциала строго положительна, точка является строгим локальным минимумом.
Следует проверить, что хотя бы одна из вторых производных положительна, а значение функции не возрастает вдоль одного из направлений изменения аргументов, без анализа знакоопределенности всей матрицы вторых производных.

... условия оптимальности — условия, при выполнении которых управляемый процесс гарантированно является оптимальным

... член - составляющая функционала, зависящая от конечного состояния системы
Терминальный
Интегральный
Дифференциальный
Текущий

... процесс - процесс управления, рассматриваемый в дискретные моменты времени.
Непрерывный
Многошаговый
Допустимый

Точка ... первого рода - точка, в которой функция имеет конечные левый и правый пределы, но они не равны между собой

... состояния системы - набор переменных, описывающих состояние управляемого объекта в каждый момент времени

Вектор ... - набор управляющих воздействий, влияющих на поведение системы

Сопоставьте элемент теории оптимальности и его содержание:
А. Второй дифференциал функции
В. Матрица Гессе
С. Условия Куна-Таккера
D. квадратичная форма, характеризующая кривизну функции в окрестности стационарной точки
E. совокупность вторых частных производных функции
F. система условий стационарности и комплементарной нежесткости

Множество ... управлений - область UcR, определяющая возможные значения управляющих воздействий
оптимальных
допустимых
системных

... решение — конкретное решение уравнения или системы уравнений при определённых значениях произвольных постоянных

... функции - вектор частных производных, указывающий направление наискорейшего возрастания функции
Оптимизация
Экстремум
Градиент

... система - система дифференциальных уравнений для вектора ip(t), связанная с исходной системой управления

Фирма решает задачу оптимального распределения инвестиций во времени. Динамика капитала описывается дифференциальным уравнением, а цель - максимизация дисконтированной прибыли за заданный период.
Как корректно применить метод Лагранжа — Понтрягина для вывода необходимых условий оптимальности?
Необходимо построить функцию Гамильтона, включив в нее текущую прибыль и динамическое ограничение с помощью сопряженной переменной. Затем записать уравнение состояния, сопряженное уравнение и условие максимума по управлению, после чего решить полученную краевую задачу с учетом граничных условий.
Следует продифференцировать целевую функцию по управляющему параметру, приравнять производную к нулю и найти экстремум без учета динамического ограничения, предполагая, что состояние системы автоматически адаптируется к выбранному управлению.
Достаточно подставить различные значения управления в исходное дифференциальное уравнение, сравнить полученные значения прибыли и выбрать вариант с наибольшим итоговым результатом без построения сопряженной
системы.

Принцип максимума Понтрягина - это ...
достаточное условие устойчивости динамической системы
метод решения дифференциальных уравнений первого порядка
необходимое условие существования стационарных точек функции
необходимое условие оптимальности управляемого процесса

... управление - управление, при котором функционал качества достигает экстремального значения

... - граничные условия для сопряжённых переменных в конечный момент времени
Условия трансверсальности
Краевые условия
Условия регулярности
Условия допустимости

... точка - точка, в которой производная функции равна нулю

Расположите действия при анализе полученного решения задачи оптимального управления от математической модели к экономической интерпретации:
1 проверка выполнения условия максимума
2 определение оптимальной траектории состояния
3 проверка граничных условий
4 анализ поведения сопряжённой переменной
5 интерпретация экономического смысла оптимального управления

... управления - закон управления, не зависящий от текущего состояния системы
Протокол
Программа
Регламент

... задача - задача с условиями, заданными на разных концах интервала

Задача ... - задача нахождения решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями
Файоля
Тейлора
Коши

Инвестиционная компания формирует стратегию распределения капитала по годам в течение пятилетнего периода. Доходность вложений зависит от текущего состояния портфеля и выбранной доли инвестирования. Необходимо определить оптимальную стратегию с учетом межвременных зависимостей.
Какой метод должен использоваться для решения данной задачи межвременной оптимизации с применением уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана?
Требуется ввести функцию ценности, отражающую максимальную суммарную доходность из данного состояния, сформулировать уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана и определить оптимальное управление из условия максимизации правой части этого уравнения с учетом динамики портфеля.
Следует определить оптимальное распределение капитала только на первый год, исходя из максимизации текущей доходности, а дальнейшую стратегию корректировать ежегодно без построения единой межвременной модели.
Достаточно сравнить несколько заранее заданных инвестиционных стратегий по суммарной прибыли за период и выбрать вариант с наибольшим итоговым значением без использования рекуррентных соотношений.

... синтезирующая функция - функция, определяющая оптимальное управление в зависимости от состояния системы

... условие - условие, задаваемое на границе области определения функции в задачах оптимизации

... ограничения — предварительные условия, накладываемые на функции в задачах оптимального управления

... область - множество всех возможных значений управляющих параметров
Допустимая область
Область достижимости
Контрольная область
Оптимальная область

Расположите компоненты уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана в порядке их включения в модель:
1 условие на конечный момент времени
2 текущая функция выигрыша
3 динамика состояния системы
4 производная функции ценности
5 оператор максимума

Соотнесите компонент уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана с его ролью в модели:
A. Текущая функция выигрыша f(x,u)f(x,u)f(x,u)
В. Производная функции ценности VV(x)\nabla V(x)VV(x)
С. Оператор максимума
D. отражает мгновенный экономический эффект управления
Е. учитывает влияние текущего состояния на будущую ценность
F. обеспечивает выбор наилучшего управляющего воздействия

... процесс - процесс управления, рассматриваемый как непрерывная функция времени
Непрерывный
Многошаговый
Допустимый

... - математическое выражение, экстремальное значение которого определяет оптимальное решение задачи
Целевая функция
Функция Ляпунова
Функция распределения вероятностей
Функция потерь

... качества - математическое выражение вида J = J"f(t,x,u)dt + F(x(T)), характеризующее качество процесса управления
Задача
Принцип
Функционал

... решение - конкретное решение уравнения или системы уравнений, полученное из общего решения при определенных значениях произвольных постоянных

... - вспомогательная функция в задачах оптимизации
Штриховая функция
Индикаторная функция
Линейная функция
Функция Лагранжа

... на состояние - условия, накладываемые на переменные состояния системы

... точка - точка, в которой производная функции равна нулю, может быть точкой экстремума

... уравнение - уравнение, связывающее значения функции в разные моменты времени.
Функциональное
Трансцендентное
Дифференциальное

... управление - управление, обеспечивающее достижение поставленной цели при заданных ограничениях.
Эффективное
Оптимальное
Стратегическое

... система - компонент системы управления, отвечающий за выработку управляющих воздействий

... процесс — процесс управления, рассматриваемый в дискретные моменты времени
Многошаговый
Оптимизационный
Однократный
Непрерывный

... - функция вида H(t,x, ,u) = f(t,x,u), используемая для формулировки условий оптимальности

... - упорядоченное представление об объекте исследования с определенной целью функционирования
Система
Схема
Алгоритм

... оптимального управления - задача поиска такого управления, при котором функционал качества достигает экстремального значения
Задача
Проблема
Цель

Уравнения вида х = f(t,x,u), описывающие динамику системы, - это ...
дифференциальные уравнения процесса
алгебраические уравнения
интегральные уравнения
уравнения баланса

... - наименьшая верхняя граница функции на заданном множестве
Инфимум
Супремум
Экстремум

... задача - задача оптимального управления с линейными дифференциальными уравнениями и линейным функционалом качества

... функция - математическое выражение для оценки качества управления

... управления - процесс построения оптимального управления в виде функции состояния системы

Терминальный член - это составляющая функционала, зависящая от ...
параметра времени в промежуточных точках траектории
начальных условий запуска системы
конечного состояния системы
мгновенного значения управляющего воздействия в каждый момент времени

Сопоставьте элемент метода динамического программирования и его экономический смысл:
A. Функция ценности
B. Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
С. Принцип оптимальности Беллмана
D. максимальная суммарная выгода от текущего состояния
Е. условие, определяющее динамику оптимального решения
F. требование согласованности решений во времени

Соотнесите вид экономико-математической модели и его возможности:
A. Балансовая модель
В. Оптимизационная модель
С. Имитационная модель
D. описывает взаимосвязи между ресурсами и их использованием в системе уравнений равновесия
E. позволяет выбрать наилучший вариант решения при наличии целевой функции и ограничений
F. воспроизводит функционирование системы во времени с учетом случайных факторов

Расположите действия при проверке достаточного условия строгого локального минимума функции нескольких переменных без ограничений в правильной последовательности:
1 проверка выполнения необходимых условий стационарности
2 вычисление вторых частных производных
3 формирование матрицы Гессе
4 проверка положительной определенности матрицы
5 формулирование вывода о характере стационарной точки

Сопоставьте элемент задачи оптимального управления с его характеристикой:
A. Функция Гамильтона
В. Сопряженная переменная
С. Условие максимума
D. вспомогательная функция, объединяющая динамику системы и критерий оптимальности
Е. переменная, описывающая «теневую цену» состояния системы
F. требование экстремальности по управляющему воздействию

Расположите элементы системы необходимых условий оптимальности согласно правильной последовательности, соответствующей принципу максимума Понтрягина:
1 функция Гамильтона
2 уравнение состояния
3 сопряженное уравнение
4 условие максимума
5 условие трансверсальности

Расположите этапы решения задачи оптимального управления методом Гамильтона — Якоби — Беллмана в правильной последовательности:
1 постановка динамической задачи и задание граничных условий 
2 определение функции ценности 
3 формулирование уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана
4 Нахождение оптимального управления из условия максимума 
5 экономическая интерпретация полученного решения 

Расположите элементы дискретной задачи динамического программирования по порядку их применения:
1 определение функции выигрыша на последнем шаге
2 запись рекуррентного соотношения Беллмана
3 последовательный расчет функции ценности от конца к началу
4 выбор оптимального управления на каждом шаге
5 формирование итоговой оптимальной стратегии

Сопоставьте тип задачи в динамическом программировании и пример его применения:
А. Дискретная задача с конечным числом шагов
В. Непрерывная задача с фиксированным горизонтом
С. Бесконечногоризонтная задача
D. оптимальное распределение ресурсов по этапам производства
E. оптимизация инвестиционного проекта на заданный срок
F. модель экономического роста с бесконечным горизонтом планирования

Расположите этапы применения принципа максимума Понтрягина при решении задачи оптимального управления в правильной последовательности:
1 построение функции Гамильтона
2 запись уравнений состояния и сопряженных уравнений
3 формулирование условия максимума по управлению
4 подстановка оптимального управления в систему
5 решение полученной краевой задачи

Сопоставьте этап моделирования экономического процесса с его содержанием:
А. Постановка задачи
В. Формализация
С. Интерпретация результатов
D. определение целей исследования и ограничений системы
Е. перевод экономических зависимостей в систему математических выражений
F. экономический анализ полученных количественных показателей

Фирма решает задачу максимизации прибыли при условии ограниченности производственных мощностей, заданных уравнением-ограничением. Найдена стационарная точка с использованием метода множителей Лагранжа.
Как можно проверить достаточное условие условного экстремума?
Достаточно убедиться, что найденные значения переменных удовлетворяют исходному ограничению и обеспечивают большее значение прибыли по сравнению с одним альтернативным вариантом распределения ресурсов.
Требуется исследовать второй дифференциал функции Лагранжа на множестве допустимых вариаций, то есть на касательном пространстве ограничений. Положительная (или отрицательная) определенность квадратичной формы подтверждает наличие условного минимума (или максимума).
Следует проверить знак множителя Лагранжа и сравнить его с коэффициентами целевой функции, не анализируя вторые производные и структуру допустимых направлений изменения переменных.

Производственная фирма планирует выпуск продукции по этапам, причем объем выпуска на каждом шаге влияет на будущие производственные возможности. Требуется построить модель, обеспечивающую оптимальное решение на всем горизонте планирования.
Как можно корректно реализовать принцип оптимальности Беллмана?
Необходимо сформулировать рекуррентное соотношение для функции ценности, начиная с конечного этапа, и последовательно определить оптимальные решения для каждого предыдущего шага, обеспечивая согласованность стратегии на всех подинтервалах.
Следует определить оптимальный выпуск продукции на среднем этапе планирования и распространить найденное решение на все остальные периоды без анализа динамической взаимосвязи состояний.
Достаточно вычислить суммарную прибыль за весь период при постоянном объеме выпуска и выбрать наиболее выгодный вариант без учета влияния текущих решений на будущие состояния системы.

Предприятие минимизирует суммарные издержки эксплуатации оборудования при условии, что уровень износа изменяется во времени по заданному закону. После построения функции Гамильтона требуется определить оптимальное управление.
Какое условие должно быть использовано в данном случае?
Необходимо использовать условие максимума (или минимума) по управляющему воздействию, то есть выбрать такое значение управления, при котором функция Гамильтона достигает экстремума при фиксированных значениях состояния и сопряженной переменной.
Следует определить экстремум только по переменной состояния, не учитывая влияние сопряженной переменной и не проверяя выполнение условия максимума для функции Гамильтона.
Достаточно проверить выполнение начального условия для переменной состояния и считать, что оптимальное управление определяется автоматически из исходной динамики системы без дополнительной оптимизации.

Компания анализирует инвестиционный проект, описываемый выпуклой функцией издержек. Найдена стационарная точка. Необходимо определить, является ли она глобальным минимумом на всей допустимой области.
Какие можно определить, является ли она глобальным минимумом на всей допустимой области.
Если функция является строго выпуклой на всей области определения, то любая стационарная точка автоматически является единственным глобальным минимумом, независимо от начального приближения и метода поиска решения.
Достаточно проверить, что производная функции обращается в нуль в найденной точке, поскольку выполнение необходимого условия стационарности уже гарантирует достижение глобального экстремума.
Следует сравнить значение функции в найденной точке с несколькими альтернативными точками, расположенными вблизи границ допустимой области, без анализа свойств выпуклости функции на всей области определения.

В модели управления запасами компания стремится минимизировать совокупные издержки хранения и дефицита в непрерывном времени. Динамика запасов описывается дифференциальным уравнением.
Как следует корректно использовать метод Гамильтона — Якоби — Беллмана для нахождения оптимального управления?
Следует записать дифференциальное уравнение для функции ценности, включающее производную по времени и оператор максимума, затем определить оптимальное управление из условия экстремума выражения в правой части уравнения и решить полученную задачу с учетом граничных условий.
Необходимо продифференцировать функцию издержек по уровню запасов и принять точку нулевой производной как оптимальное решение без анализа динамики системы и межвременной структуры задачи.
Достаточно провести имитационное моделирование нескольких вариантов политики управления запасами и выбрать стратегию с наименьшими затратами без формализации уравнения ценности.

Компания реализует долгосрочный инвестиционный проект, включающий несколько этапов финансирования и получения доходов во времени. Необходимо определить оптимальное распределение ресурсов по периодам с учетом дисконтирования будущих потоков.
Какой метод анализа следует применить, который позволит наиболее точно учесть временную структуру поступлений и расходов, фактор дисконтирования и принять обоснованное решение по распределению ресурсов?
Применить статическую модель, в которой суммарные доходы и расходы агрегируются за весь период без учета временной структуры потоков и фактора дисконтирования.
Использовать динамическую модель, учитывающую временную последовательность решений, функцию дисконтирования и взаимосвязь текущих и будущих состояний проекта, с формализацией задачи в виде межвременной оптимизации.
Провести сравнительный анализ альтернативных проектов по объему первоначальных инвестиций, не учитывая распределение доходов по периодам и влияние временного фактора на стоимость капитала.

Компания реализует долгосрочный инвестиционный проект, включающий несколько этапов финансирования и получения доходов во времени. Необходимо определить оптимальное распределение ресурсов по периодам с учетом дисконтирования будущих потоков.
Какой метод анализа следует применить, который позволит наиболее точно учесть временную структуру поступлений и расходов, фактор дисконтирования и принять обоснованное решение по распределению ресурсов?
Применить статическую модель, в которой суммарные доходы и расходы агрегируются за весь период без учета временной структуры потоков и фактора дисконтирования.
Использовать динамическую модель, учитывающую временную последовательность решений, функцию дисконтирования и взаимосвязь текущих и будущих состояний проекта, с формализацией задачи в виде межвременной оптимизации.
Провести сравнительный анализ альтернативных проектов по объему первоначальных инвестиций, не учитывая распределение доходов по периодам и влияние временного фактора на стоимость капитала.

Расположите в правильной последовательности этапы проверки достаточных условии оптимальности в задаче с равенствами (метод множителей Лагранжа):
1 построение функции Лагранжа
2 нахождение стационарной точки из системы первых производных
3 формирование касательного пространства ограничений
4 проверка положительной определенности второго дифференциала Лагранжиана на допустимых вариациях
5 формулирование вывода о наличии условного экстремума

Априорные ограничения - это ...
требования устойчивости динамической системы
предположения о форме закона распределения случайных величин
оценки точности вычисления целевых функций
предварительные условия, накладываемые на функции в задачах оптимального управления

Сопоставьте свойства целевой функции с соответствующим ей типом экстремума, для установки связи между геометрическими свойствами функции и характером ее экстремальных точек:
A. Строгая выпуклость
В. Строгая вогнутость
С. Квазиивыпуклость
D. единственный глобальный минимум
E. единственный глобальный максимум
F. возможность глобального минимума при выполнении дополнительных условий

Расположите элементы оптимизационной модели в порядке их формирования при разработке задачи линейного программирования:
1 определение переменных решения
2 формулирование целевой функции
3 формирование системы ограничений
4 экономическая интерпретация решения

... значение - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве

... функция - функция, график которой лежит не выше любой своей хорды

Сопоставьте типы задач оптимизации с достаточными условиями оптимальности, обеспечивающими гарантированное достижение оптимального решения:
A. Задача без ограничений
В. Задача с равенствами (условная оптимизация)
С. Задача с неравенствами
D. положительная (отрицательная) определенность матрицы вторых производных
E. положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы Лагранжиана на касательном пространстве
F. выполнение условий Куна-Таккера и положительная определенность матрицы Лагранжа по допустимым направлениям

Принцип максимума ... - необходимое условие оптимальности управляемого процесса
Понтрягина
Тейлора
Файоля

Расположите элементы оптимизационной модели в порядке их формирования при разработке задачи линейного программирования:
1 определение переменных решения
2 формулирование целевой функции
3 формирование системы ограничений
4 экономическая интерпретация решения

... произведение - операция над двумя векторами, результатом которой является число
Сопоставьте тип условия в методе Лагранжа-Понтрягина и его экономическую интерпретацию:
A. Уравнение состояния
В. Сопряженное уравнение
С. Условие трансверсальности
D. динамика управляемого показателя
Е. динамика предельной ценности ресурса
F. ограничение на конечное состояние или свободный горизонт планирования

Расположите виды анализа чувствительности модели по мере усложнения процедуры их проведения:
1 детерминированный расчет базового варианта без изменения параметров
2 изменение одного параметра при прочих равных условиях
3 сценарный анализ с одновременным изменением нескольких параметров
4 стохастическое моделирование с учетом распределений вероятностей

Соотнесите вид экономико-математической модели и его возможности:
A. Балансовая модель
В. Оптимизационная модель
С. Имитационная модель
D. описывает взаимосвязи между ресурсами и их использованием в системе уравнений равновесия
E. позволяет выбрать наилучший вариант решения при наличии целевой функции и ограничений
F. воспроизводит функционирование системы во времени с учетом случайных факторов