Математика (2-ой семестр). Контрольная работа №2. Вариант №5

1. Даны функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А. 2) производную в точке А по направлению вектора a.
; ,

2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декарто-вых координатах (a>0).

3. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями.
, .

4. Даны векторное поле F=Xi+Yj+Zk и плоскость (p) Ax+By+Cz+D=0, ко-торая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть s — основание пирамиды, принадлежащие плоскости (P); l— кон-тур, ограничивающий s; n — нормаль к s, направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить:
1) поток векторного поля F через поверхность s в направлении нормали n;
2) циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру l непосред-ственно и применив теорему Стокса к контуру l и ограниченной им по-верхности s с нормалью n;
3) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и при-менив теорему Остроградского. Сделать чертеж.
, .