Контрольная работа. 1 семестр. 3 вариант.

1. Найти пределы
а)  б)  в)

2. Найти производные данных функций
а)
для решения примера используем формулы из справочника
б)
в)
г) функция задана в неявном виде, поэтому производную будем брать от обеих частей, считая у функции от x, т.е.

3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию . Используя результаты исследования, построить её график.
Область определения, точки пересечения с осями, общие свойства.
Область определения функции – вся числовая прямая, кроме точки и , то есть .
значит точка является точкой пересечения графика функции с осью
числитель ни при каких значениях х не будет равен 0, т.е. график функции не пересекает ось 0x.
для график функции лежит выше оси 0x
для график функции лежит ниже оси 0x
Функция не является периодической.
функция является четной, график симметричен относительно оси 0у
Непрерывность, асимптоты
Функция имеет разрыв в точке . Следовательно, график функции вертикальная асимптота.
Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты
.Следовательно, – горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.
Монотонность (возрастание и убывание) и экстремумы (максимумы и минимумы)
Найдем производную:
Найдем нули производной (критические точки):
Составим таблицу
График

4. Дана функция f(x;y) = sin(x2y). Найти все её частные производные второго порядка.
Найдем частную производную функции по переменной х, предполагая, что переменная y постоянна
Аналогично для частной производной по y (переменная х постоянна)
Найдём частные производные второго порядка

5.Найти неопределенные интегралы
а)    б) 
в)    г)  .
Решение.
а) Используем замену переменной и таблицу интегралов.
б) Используем метод интегрирования по частям (см. Справочник) и замену переменной
в) В знаменателе дроби применим формулу сокращенного умножения
Затем подынтегральную дробь представим в виде суммы простейших дробей.
Неопределенные коэффициенты A,B,C найдем из условия
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой части этого тождества, получим систему уравнений
Решая эту систему, получим А=1/12, В= -1/12, С= 1/3
Таким образом,
Для интегрирования второго интеграла сделаем замену
Таким образом,
г) Используем замену переменной

Зачет 2017 год