Контрольная работа №1. Вариант №4

ЗадачаNo1
Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
а) (A\B)∪(C\B)=(A∪ C)\B;
б) A×(B∩C)=(A× B)∩ (A× C).
Задача No2
Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 ⊆ A× B, P2 ⊆ B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2P1)–1. Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.
P1 = {(a,1),(a,2),(b,2),(b,4),(c,3),(c,2)}; P2 = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4)}.
Задача No3
Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P ⊆ R2, P = {(x,y) | x2 + x = y2 + y}.
Задача No4
Доказать утверждение методом математической индукции:
(10n – 1) кратно 9 для всех целых n > 0.
Задача No5
Восемь студентов должны сдавать зачет по трем предметам: физике, английскому языку и истории. Все зачеты назначены на одно время и каждый может сдавать только один зачет, поэтому студентам нужно распределиться на группы. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами они могут разместиться после зачета за двумя совершенно одинаковыми столиками (не менее чем по двое) для того, чтобы отпраздновать результаты?
Задача No6
Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) делящихся на числа 6, 15 или 25? б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?
Задача No7
Найти коэффициенты при a=x·y3·z4, b=x3·y·z2, c=x2·y4 в разложении (5·x+2·y+3·z2)6.
Задача No8
Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению 4·an+2 + 7·an+1 + 3·an = 0· и начальным условиям a1=2, a2=1
Задача No9
Орграф задан матрицей смежности. Необходимо:
а) нарисовать граф;
б) выделить компоненты сильной связности;
в) заменить все дуги ребрами и в полученном неориентированном графе найти эйлерову цепь (или цикл).
((0&1&0&0&0&0@1&0&0&0&0&0@0&0&0&1&0&0@0&0&1&1&1&0@0&1&0&1&0&0@0&0&0&0&1&1))       
Задача No10
Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти:
а) остовное дерево минимального веса;
б) кратчайшее расстояние от вершины v4 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.
[(∞&8&∞&4&6&∞@8&∞&2&2&∞&4@∞&2&∞&9&∞&6@4&2&9&∞&8&∞@6&∞&∞&8&∞&1@∞&4&6&∞&1&∞)]

Работа была доработана по замечаниям преподавателя доработки выделены цветом. После доработок работа была зачтена.