Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

СОДЕРЖАНИЕ
Производная функция: .........................................................................3
1. Производная функция .....................................................................3
2. Касательная к кривой .....................................................................5
3. Геометрический смысл производной ..................................................6
4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции .....7
Производные от элементарных функций: ................................................8
1. Производная постоянной ..................................................................8
2. Таблица элементарных производных ...................................................8
3. Правила дифференцирования ............................................................8
Изучение функций с помощью производной: ...........................................9
1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ........................9
2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ..........11
3. Максимум и минимум функции .......................................................12
4. Признаки существования экстремума ................................................12
5. Правило нахождения экстремума ......................................................14
6. Нахождение экстремума при помощи второй производной .....................14
7. Направление вогнутости кривой ......................................................16
8. Точки перегиба ............................................................................17
9. Механическое значение второй производной .......................................18
Дифференциал: .................................................................................19
1. Сравнение бесконечно малых ..........................................................19
2. Дифференциал функции .................................................................19
3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21
4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям .......22
Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ..........23
Список литературы .............................................................................34
Рецензия на работу ............................................................................35

Производная функция
Поставим своей задачей определить скорость, с кото­рой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные слу­чаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на от­резке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆x; ар­гумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:
∆y=f(x+∆x)-f(x). (I)
Найдем отношение приращения ∆у функции к прира­щению ∆x аргумента:
∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)
По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке
[x, x+∆x].
Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.
Для непрерывной функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).
lim((f(x+∆x)-f(x))/ ∆x)=f’(x)
∆x→0