Евклидова и неевклидова геометрия

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.
“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2. Линия есть длины без ширины
Определение 3. Границы линии суть точки.
Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
Постулаты
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.