Лабораторные работы №1-5 по дисциплине: Дискретная математика. Все варианты

Лабораторная работа No 1 Множества и операции над ними
Написать программу, в которой для конечных упорядоченных множеств реализовать все основные операции (È , Ç , Í , \) с помощью алгоритма типа слияния (по материалам главы 1, п.1.2). Допустима организация множеств в виде списка или в виде массива.
Работа программы должна происходить следующим образом:

На вход подаются два упорядоченных множества A и B (вводятся с клавиатуры, элементы множеств – буквы латинского алфавита).
После ввода множеств выбирается требуемая операция (посредством текстового меню, вводом определенного символа в ответ на запрос – выбор по желанию автора). Операции: вхождение AÍ B, AÈ B, AÇ B, A\B (дополнительно: B\A, AD B, BÍ A).
Программа посредством алгоритма типа слияния определяет результат выбранной операции и выдает его на экран с необходимыми пояснениями. Одновременно с результатом на экране должны присутствовать и исходные множества.
Возврат на п.2 (выбор операции).
Завершение работы программы – из п.2 (например, по ESC).
Дополнительно: предусмотреть возможность возврата не только к выбору операции (п.2), но и к вводу новых множеств (п.1). Выход в таком случае должен быть возможен из любого пункта (1 или 2).

Замечание: Исходные множества не должны содержать повторяющихся элементов (при обработке входных данных такие элементы следует удалять). Если исходные множества не упорядочены, нужно отсортировать их по возрастанию. Только после такой обработки над множествами возможно выполнять требуемые операции.

Лабораторная работа No 2 Отношения и их свойства

Бинарное отношение R на конечном множестве A: RÍ A2 – задано списком упорядоченных пар вида (a,b), где a,bÎ A. Требования на множество – те же, что и раньше (в нем не должно встречаться повторяющихся элементов, кроме того, оно должно быть упорядочено по возрастанию). Программа должна определять свойства заданного отношения: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность (по материалам главы 1, п.1.3). Проверку свойств выполнять по матрице бинарного отношения, сопровождая необходимыми пояснениями.

Работа программы должна происходить следующим образом:

1. На вход подается множество A из n элементов и список упорядоченных пар, задающий отношение R (мощность множества, элементы и парывводятся с клавиатуры).

2. Результаты выводятся на экран (с необходимыми пояснениями) в следующем виде:

а) матрица бинарного отношения размера n ́ n; 
б) список свойств данного отношения.

В матрице отношения строки и столбцы должны быть озаглавлены (элементы исходного множества, упорядоченного по возрастанию).

3. После вывода результатов предусмотреть возможность изменения заданного бинарного отношения либо выхода из программы.

Это изменение может быть реализовано различными способами. Например, вывести на экран список пар (с номерами) и по команде пользователя изменить что-либо в этом списке (удалить какую-то пару, добавить новую, изменить имеющуюся), после чего повторить вычисления, выбрав соответствующий пункт меню. Другой способ – выполнять редактирование непосредственно самой матрицы отношения, после чего также повторить вычисления. Возможным вариантом является автоматический пересчет – проверка свойств отношения – после изменения любого элемента матрицы.

Дополнительно: предусмотреть не только изменение отношения, но и ввод нового множества (размер нового множества может тоже быть другим).

Лабораторная работа No 3 Генерация перестановок

Дано конечное множество A. Требуется сгенерировать все возможные перестановки его элементов в лексикографическом порядке (по материалам главы 1, п. 1.3.6, и главы 2, п. 2.2.1). Требования к заданию множества – в нем не должно быть повторяющихся элементов, кроме того, удобнее использовать или только буквы, или только цифры.

Программа должна сначала упорядочить все элементы заданного множества по возрастанию (это первый – минимальный – набор), затем – посредством МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕСТАНОВОК! – сгенерировать последовательно возрастающие (лексикографически) наборы, вплоть до последнего, в котором все элементы упорядочены по убыванию.

Следует оценивать количество возможных перестановок и в случае, если они не поместятся на экран, выполнять их вывод в файл с выдачей на экран соответствующей информации для пользователя и выполнять поэкранный вывод с ожиданием нажатия клавиши.

Дополнительно: Предоставить пользователю возможность выбора другого варианта работы программы, в котором за исходную точку упорядочивания наборов выбирается не минимальный набор, а набор в таком порядке, как он задан пользователем.

Возможный алгоритм решения (Пример: множество А={1, 2, 3, 4, 5, 6}, |A| = n):

Предположим, что уже построено m наборов. Тогда для получения m+1-го набора:

Выполняется проверка последнего (m-го) набора на наличие в его конце некоторого количества символов, упорядоченных по убыванию – пусть это символы ak+1...an.
á 3 5 2 6 4 1ñ – k=3, символы с 4-го по 6-й упорядочены по убыванию.
Если такое k найдено, то поменять местами k-й элемент и наименьший элемент из ak+1...an, больший этого ak.
В нашем примере это 2 и 4: á 3 5 4 6 2 1ñ (это промежуточный набор).
После шага 2 упорядочить элементы с k+1-го до последнего по возрастанию. Получен очередной набор Þ выдать его на печать.
á 3 5 4 1 2 6ñ.
Если на шаге 1 ответ отрицательный, то поменять местами 2 последних элемента и выдать на печать полученный набор. В частности, после шага 3 это неизбежное действие, т.к. все последние элементы были размещены по возрастанию Þ целесообразно после выполнения ш.3 задавать признак его выполнения, который будет анализироваться (и сбрасываться) на шаге 1. После шага 3 было á 3 5 4 1 2 6ñ Þ выдать á 3 5 4 1 6 2ñ .
Если был набор á 3 5 2 6 1 4ñ Þ выдать á 3 5 2 6 4 1ñ .
Если полученный набор не последний (упорядоченный по убыванию), то возврат на шаг 1. В противном случае конец работы.
Лабораторная работа No 4 Генерация подмножеств

Задано целое положительное число n, которое представляет собой мощность некоторого множества. Требуется с минимальными трудозатратами генерировать все подмножества этого множества, для чего каждое последующее подмножество должно получаться из предыдущего путем добавления или удаления только одного элемента. Множество и все его подмножества представляются битовой шкалой. Для генерации использовать алгоритм построения бинарного кода Грея.

В качестве результата выводить построчно каждое из подмножеств (в виде битовой шкалы), сопровождая их порядковыми номерами. В случае большого количества результирующих строк (превышающего размер экрана) выполнять поэкранную выдачу, а также осуществлять их вывод в файл с выдачей на экран сообщения для пользователя – имя файла, его местонахождение.

Алгоритм построения бинарного кода Грея

Вход: n 3 0 – мощность множества.

Выход: последовательность кодов подмножеств B (битовая шкала).

1. Инициализация массива В и его выдача на печать.

2. В цикле по i (от 1 до 2 n –1):

а) Определение элемента для добавления или удаления: p:=Q(i);

б) Добавление или удаление элемента B[p]:=1–B[p];

в) Вывод очередного подмножества – массива B.

Функция Q(i) определяется как число, на единицу превышающее количество “2” в разложении числа i на множители. Очевидно, что для нечетных i значение этой функции равно 1, т.е. для нечетного i значение будет менять крайний правый бит шкалы (нумерация справа налево от 1), а для i, равных степени 2, будет “включаться” бит, соответствующий этой степени 2 (например, для 4 – 3-й бит, для 8 – 4-й бит, ...).

Пример: Выполнение алгоритма для n=3. Дополнительно: множество {a,b,c}.

i

p

 
B

   
Дополнительно

множества

   
0

0

0

 
Æ

1

1

0

0

1

 
{с}

2

2

0

1

1

 
{b,c}

3

1

0

1

0

 
{b}

4

3

1

1

0

 
{a,b}

5

1

1

1

1

 
{a,b,c}

6

2

1

0

1

 
{a,c}

7

1

1

0

0

 
{a}


Дополнительно:

Предоставить пользователю возможность задать исходное множество путем перечисления его элементов. Упорядочить это множество, сопоставить ему битовую шкалу. При выводе каждой строки битовой шкалы на экран в той же строке указывать конкретное подмножество, соответствующее этой шкале.

Лабораторная работа No 5 Поиск компонент связности графа

Граф задан его матрицей смежности. Требуется определить количество компонент связности этого графа (по материалам главы 3, п. 3.2.3 и 3.4). При этом должны быть конкретно перечислены вершины, входящие в каждую компоненту связности.

Выбор алгоритма поиска компонент связности – произвольный. Например, приветствуется использование одного из видов обхода (поиск в глубину или поиск в ширину по материалам п. 3.4.3).

Пользователю должна быть предоставлена возможность редактировать исходную матрицу, т.е. изменять исходный граф без выхода из программы. Предусмотреть также возможность изменения количества вершин.

При выполнении работы разрешается (даже рекомендуется!) использовать матрицу бинарных отношений из лабораторной работы No2.

Вход программы: число вершин графа и матрица смежности.

Выход: разбиение множества вершин на подмножества, соответствующие компонентам связности.

Дополнительно:

Заданный граф рассматривать как ориентированный. Выполнять поиск компонент сильной связности.

Все работы успешно зачтены.
Преподаватель: Бах Ольга Анатольевна
2017